В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В треугольнике
проведена биссектриса
. Касательная к описанной окружности треугольника
, проходящая через точку
, пересекает прямую
в точке
.
а) Докажите, что
.
б) Найдите длину отрезка
, если известно, что 
б) Найдите длину отрезка
Решение:
а) Треугольники подобны по двум углам. Действительно, угол
у них общий, а каждый из углов
равен половине градусной меры дуги
(использовалось свойство: угол между касательной и секущей равен половине градусной меры высекаемой дуги).
Тогда
Что и требовалось доказать.
б) По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки
(*)
При этом по свойству биссектрисы треугольника
,
то есть
Используя п. а, имеем то есть
Последнее равенство подставляем в (*):
Наконец,
Итак,
Ответ: 20.
Подскажите, пожалуйста: условие “пересекает прямую AB в точке P” означает, что P ближе к B, то есть мы продолжаем прямую в сторону последней буквы в прямой?
Я продолжила в сторону A, тогда получается совсем другой ответ.
Анна, по свойству биссектрисы
, значит сторона
меньше
Тогда из углов
большим будет
что говорит о пересечении прямой
c касательной через точку
именно «со стороны точки
».
Спасибо, что помогли разобраться!
Простите, но ведь величина угла образованного касательной и секущей будет угол = половине градусной мере дуги, заключенной между касательной и секущей. То есть угол(PCB) = угол(BAC)/2.
Угол BAC – вписанный. Он также равен половине дуги, на которую опирается.
Точно, как я так ошибся. Спасибо за помощь. :3