Главная › 16 (С5) Планиметр. задачи › Задание №18 Т/Р №116 А. Ларина

07 Май 2015

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиПланиметрияТ/P A. Ларина

Задание №18 Т/Р №116 А. Ларина

Елена Репина 2015-05-07 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CM$ . Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$ , проходящая через точку $C$ , пересекает прямую $AB$ в точке $P$ .

а) Докажите, что $BC:AC=CP:AP$ .
б) Найдите длину отрезка $CP$ , если известно, что $AM=5, BM=4.$

Решение:

а) Треугольники $BPC,CPA$ подобны по двум углам. Действительно, угол $P$ у них общий, а каждый из углов $PCB,CAP$ равен половине градусной меры дуги $BC$ (использовалось свойство: угол между касательной и секущей равен половине градусной меры высекаемой дуги).

Тогда $\frac{BC}{AC}=\frac{CP}{AP}.$

шгол

Что и требовалось доказать.

б) По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки

$CP^2=BP\cdot AP$ (*)

При этом по свойству биссектрисы треугольника

$\frac{BC}{AC}=\frac{MB}{MA}$ ,

то есть $\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}.$

Используя п. а, имеем $\frac{CP}{AP}=\frac{4}{5},$ то есть $CP=\frac{4AP}{5}.$

Последнее равенство подставляем в (*):

$(\frac{4AP}{5})^2=(AP-9)AP;$

$16AP^2=25AP^2-9\cdot 25\cdot AP;$

$9AP^2=9\cdot 25\cdot AP;$

$AP=25.$

Наконец, $CP^2=BP\cdot AP=(25-9)25=20^2.$

Итак, $CP=20.$

Ответ: 20.

Автор: egeMax | комментариев 6

Печать страницы

комментариев 6

Анна

2015-05-07 в 23:13

Подскажите, пожалуйста: условие “пересекает прямую AB в точке P” означает, что P ближе к B, то есть мы продолжаем прямую в сторону последней буквы в прямой?
Я продолжила в сторону A, тогда получается совсем другой ответ.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-08 в 10:37
  
  Анна, по свойству биссектрисы $BC:AC=4:5$ , значит сторона $BC$ меньше $AC.$ Тогда из углов $AMC,BMC$ большим будет $AMC,$ что говорит о пересечении прямой $AB$ c касательной через точку $C$ именно «со стороны точки $B$ ».
  
  [ Ответить ]
Анна

2015-05-08 в 22:27

Спасибо, что помогли разобраться!

[ Ответить ]
Алексей

2016-01-03 в 18:34

Простите, но ведь величина угла образованного касательной и секущей будет угол = половине градусной мере дуги, заключенной между касательной и секущей. То есть угол(PCB) = угол(BAC)/2.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-01-03 в 21:12
  
  Угол BAC – вписанный. Он также равен половине дуги, на которую опирается.
  
  [ Ответить ]
Алексей

2016-01-03 в 23:28

Точно, как я так ошибся. Спасибо за помощь. :3

[ Ответить ]

Задание №18 Т/Р №116 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ