Задание №18 Т/Р №116 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В треугольнике ABC проведена биссектриса CM. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.
а) Докажите, что BC:AC=CP:AP.
б) Найдите длину отрезка CP, если известно, что AM=5, BM=4.

Решение:

а) Треугольники BPC,CPA подобны по двум углам. Действительно, угол P у них общий, а каждый из углов PCB,CAP равен половине градусной меры дуги BC (использовалось свойство: угол между касательной и секущей равен половине градусной меры высекаемой дуги).

Тогда \frac{BC}{AC}=\frac{CP}{AP}.

Что и требовалось доказать.

б) По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки

CP^2=BP\cdot AP  (*)

При этом по свойству биссектрисы треугольника

\frac{BC}{AC}=\frac{MB}{MA},

то есть \frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}.

Используя п. а, имеем \frac{CP}{AP}=\frac{4}{5}, то есть CP=\frac{4AP}{5}.

Последнее равенство подставляем в (*):

(\frac{4AP}{5})^2=(AP-9)AP;

16AP^2=25AP^2-9\cdot 25\cdot AP;

9AP^2=9\cdot 25\cdot AP;

AP=25.

Наконец, CP^2=BP\cdot AP=(25-9)25=20^2.

Итак, CP=20.

Ответ: 20.

Печать страницы
Комментариев: 6
  1. Анна

    Подскажите, пожалуйста: условие “пересекает прямую AB в точке P” означает, что P ближе к B, то есть мы продолжаем прямую в сторону последней буквы в прямой?
    Я продолжила в сторону A, тогда получается совсем другой ответ.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Анна, по свойству биссектрисы BC:AC=4:5, значит сторона BC меньше AC. Тогда из углов AMC,BMC большим будет AMC, что говорит о пересечении прямой AB c касательной через точку C именно «со стороны точки B».

      [ Ответить ]
  2. Анна

    Спасибо, что помогли разобраться!

    [ Ответить ]
  3. Алексей

    Простите, но ведь величина угла образованного касательной и секущей будет угол = половине градусной мере дуги, заключенной между касательной и секущей. То есть угол(PCB) = угол(BAC)/2.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Угол BAC – вписанный. Он также равен половине дуги, на которую опирается.

      [ Ответить ]
  4. Алексей

    Точно, как я так ошибся. Спасибо за помощь. :3

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif