Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
б) Найдите длину отрезка $CP$, если известно, что $AM=5, BM=4.$
Решение:
а) Треугольники $BPC,CPA$ подобны по двум углам. Действительно, угол $P$ у них общий, а каждый из углов $PCB,CAP$ равен половине градусной меры дуги $BC$ (использовалось свойство: угол между касательной и секущей равен половине градусной меры высекаемой дуги).
Тогда $\frac{BC}{AC}=\frac{CP}{AP}.$
Что и требовалось доказать.
б) По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки
$CP^2=BP\cdot AP$ (*)
При этом по свойству биссектрисы треугольника
$\frac{BC}{AC}=\frac{MB}{MA}$,
то есть $\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}.$
Используя п. а, имеем $\frac{CP}{AP}=\frac{4}{5},$ то есть $CP=\frac{4AP}{5}.$
Последнее равенство подставляем в (*):
$(\frac{4AP}{5})^2=(AP-9)AP;$
$16AP^2=25AP^2-9\cdot 25\cdot AP;$
$9AP^2=9\cdot 25\cdot AP;$
$AP=25.$
Наконец, $CP^2=BP\cdot AP=(25-9)25=20^2.$
Итак, $CP=20.$
Ответ: 20.
Подскажите, пожалуйста: условие “пересекает прямую AB в точке P” означает, что P ближе к B, то есть мы продолжаем прямую в сторону последней буквы в прямой?
Я продолжила в сторону A, тогда получается совсем другой ответ.
Анна, по свойству биссектрисы [latexpage] $BC:AC=4:5$, значит сторона $BC$ меньше $AC.$ Тогда из углов $AMC,BMC$ большим будет $AMC,$ что говорит о пересечении прямой $AB$ c касательной через точку $C$ именно «со стороны точки $B$».
Спасибо, что помогли разобраться!
Простите, но ведь величина угла образованного касательной и секущей будет угол = половине градусной мере дуги, заключенной между касательной и секущей. То есть угол(PCB) = угол(BAC)/2.
Угол BAC – вписанный. Он также равен половине дуги, на которую опирается.
Точно, как я так ошибся. Спасибо за помощь. :3