Задание №18 Т/Р №116 А. Ларина

2023-06-15

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CM$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $P$.
а) Докажите, что $BC:AC=CP:AP$.
б) Найдите длину отрезка $CP$, если известно, что $AM=5, BM=4.$

Решение:

а) Треугольники $BPC,CPA$ подобны по двум углам. Действительно, угол $P$ у них общий, а каждый из углов $PCB,CAP$ равен половине градусной меры дуги $BC$ (использовалось свойство: угол между касательной и секущей равен половине градусной меры высекаемой дуги).

Тогда $\frac{BC}{AC}=\frac{CP}{AP}.$

шгол

Что и требовалось доказать.

б) По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки

$CP^2=BP\cdot AP$  (*)

При этом по свойству биссектрисы треугольника

$\frac{BC}{AC}=\frac{MB}{MA}$,

то есть $\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}.$

Используя п. а, имеем $\frac{CP}{AP}=\frac{4}{5},$ то есть $CP=\frac{4AP}{5}.$

Последнее равенство подставляем в (*):

$(\frac{4AP}{5})^2=(AP-9)AP;$

$16AP^2=25AP^2-9\cdot 25\cdot AP;$

$9AP^2=9\cdot 25\cdot AP;$

$AP=25.$

Наконец, $CP^2=BP\cdot AP=(25-9)25=20^2.$

Итак, $CP=20.$

Ответ: 20.

Печать страницы
комментариев 6
  1. Анна

    Подскажите, пожалуйста: условие “пересекает прямую AB в точке P” означает, что P ближе к B, то есть мы продолжаем прямую в сторону последней буквы в прямой?
    Я продолжила в сторону A, тогда получается совсем другой ответ.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Анна, по свойству биссектрисы [latexpage] $BC:AC=4:5$, значит сторона $BC$ меньше $AC.$ Тогда из углов $AMC,BMC$ большим будет $AMC,$ что говорит о пересечении прямой $AB$ c касательной через точку $C$ именно «со стороны точки $B$».

      [ Ответить ]
  2. Анна

    Спасибо, что помогли разобраться!

    [ Ответить ]
  3. Алексей

    Простите, но ведь величина угла образованного касательной и секущей будет угол = половине градусной мере дуги, заключенной между касательной и секущей. То есть угол(PCB) = угол(BAC)/2.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Угол BAC – вписанный. Он также равен половине дуги, на которую опирается.

      [ Ответить ]
  4. Алексей

    Точно, как я так ошибся. Спасибо за помощь. :3

    [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




7 + 17 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif