28 Май 2015

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиПланиметрияТ/P A. Ларина

Задание №18 Т/Р №119 А. Ларина

Елена Репина 2015-05-28 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$ проведены медианы $AM$ и $BK$ . Известно, что около четырехугольника $ABMK$ можно описать окружность.
а) Докажите, что $CK=CM$ .
б) Пусть $AB=2$ . Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника $ABMK$ .

Решение:

a) Очевидно, $KM\parallel AB$ ( $KM$ – средняя линия $\Delta ABC$ ), то есть четырехугольник $ABMK$ – трапеция.

А раз трапеция вписана а окружность, то она равнобедренная.

А значит, $AK=BM$ , откуда и $CK=CM.$

Что и требовалось доказать.

ujh

б) Очевидно, $CM=CK=AK=BM=\frac{1}{\sqrt 2}.$

Далее из треугольника $ACM$ по т. Пифагора:

$AM=\sqrt{(\frac{2}{\sqrt 2})^2+(\frac{1}{\sqrt 2})^2}=\frac{\sqrt 5}{\sqrt 2}$ .

09i

Найдем площадь $S$ треугольника $ABM:$

$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt2}\cdot 2\cdot sin45^{\circ}=\frac{1}{2}.$

Найдем радис $R$ окружности, описанной около треугольника $ABM$ (он же будет радиусом, описанным около трапеции $ABMK$ ):

$R=\frac{MB\cdot AB\cdot AM}{4S}=\frac{\frac{1}{\sqrt2}\cdot 2\cdot \frac{\sqrt5}{\sqrt2}}{2}=\frac{\sqrt5}{2}.$

Ответ: $\frac{\sqrt5}{2}.$

Автор: egeMax | комментариев 5

Печать страницы

комментариев 5

Марат

2015-06-03 в 11:13

А почему радиус окружности, описанной околл треугольника будет равен тому,что описание вокруг трапеции?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-06-03 в 13:01
  
  Разве они не вписаны в одну и ту же окружность?
  
  [ Ответить ]
  - Марат
    
    2015-06-03 в 13:12
    
    А как это понять? Можно поподробнее, пожалуйста.
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2015-06-03 в 13:14
      
      Ну около ABMK можно же описать окружность. Об этом говорится в условии. Ну так и треугольник ABM вписан в нее же, нет?
      
      [ Ответить ]
      - Марат
        
        2015-06-03 в 13:21
        
        Согласен, спасибо, Елена Юрьевна, не мог заметит.
        
        [ Ответить ]

Задание №18 Т/Р №119 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ