Задание №18 Т/Р №119 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
В прямоугольном треугольнике ABC \angle C=90^{\circ} проведены медианы AM и BK. Известно, что около четырехугольника ABMK можно описать окружность.
а) Докажите, что CK=CM.
б) Пусть AB=2. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ABMK.

Решение:

a) Очевидно, KM\parallel AB (KM – средняя линия \Delta ABC), то есть  четырехугольник ABMK – трапеция.

А раз трапеция вписана а окружность, то она равнобедренная.

А значит, AK=BM, откуда и CK=CM.

Что и требовалось доказать.

б) Очевидно, CM=CK=AK=BM=\frac{1}{\sqrt 2}.

Далее из треугольника ACM по т. Пифагора:

AM=\sqrt{(\frac{2}{\sqrt 2})^2+(\frac{1}{\sqrt 2})^2}=\frac{\sqrt 5}{\sqrt 2}.

Найдем площадь S треугольника ABM:

S=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt2}\cdot 2\cdot sin45^{\circ}=\frac{1}{2}.

Найдем радис R окружности, описанной около треугольника ABM (он же будет радиусом, описанным около трапеции ABMK):

R=\frac{MB\cdot AB\cdot AM}{4S}=\frac{\frac{1}{\sqrt2}\cdot 2\cdot \frac{\sqrt5}{\sqrt2}}{2}=\frac{\sqrt5}{2}.

Ответ: \frac{\sqrt5}{2}.

Печать страницы
Комментариев: 5
  1. Марат

    А почему радиус окружности, описанной околл треугольника будет равен тому,что описание вокруг трапеции?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Разве они не вписаны в одну и ту же окружность?

      [ Ответить ]
      • Марат

        А как это понять? Можно поподробнее, пожалуйста.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Ну около ABMK можно же описать окружность. Об этом говорится в условии. Ну так и треугольник ABM вписан в нее же, нет?

          [ Ответить ]
          • Марат

            Согласен, спасибо, Елена Юрьевна, не мог заметит.

            [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif