Задание №18 Т/Р №119 А. Ларина

2023-06-15

Смотрите также №15№16№17№19№20.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$ проведены медианы $AM$ и $BK$. Известно, что около четырехугольника $ABMK$ можно описать окружность.
а) Докажите, что $CK=CM$.
б) Пусть $AB=2$. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника $ABMK$.

Решение:

a) Очевидно, $KM\parallel AB$ ($KM$ – средняя линия $\Delta ABC$), то есть  четырехугольник $ABMK$ – трапеция.

А раз трапеция вписана а окружность, то она равнобедренная.

А значит, $AK=BM$, откуда и $CK=CM.$

Что и требовалось доказать.

ujh

б) Очевидно, $CM=CK=AK=BM=\frac{1}{\sqrt 2}.$

Далее из треугольника $ACM$ по т. Пифагора:

$AM=\sqrt{(\frac{2}{\sqrt 2})^2+(\frac{1}{\sqrt 2})^2}=\frac{\sqrt 5}{\sqrt 2}$.

09i

Найдем площадь $S$ треугольника $ABM:$

$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt2}\cdot 2\cdot sin45^{\circ}=\frac{1}{2}.$

Найдем радис $R$ окружности, описанной около треугольника $ABM$ (он же будет радиусом, описанным около трапеции $ABMK$):

$R=\frac{MB\cdot AB\cdot AM}{4S}=\frac{\frac{1}{\sqrt2}\cdot 2\cdot \frac{\sqrt5}{\sqrt2}}{2}=\frac{\sqrt5}{2}.$

Ответ: $\frac{\sqrt5}{2}.$

Печать страницы
комментариев 5
  1. Марат

    А почему радиус окружности, описанной околл треугольника будет равен тому,что описание вокруг трапеции?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Разве они не вписаны в одну и ту же окружность?

      [ Ответить ]
      • Марат

        А как это понять? Можно поподробнее, пожалуйста.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Ну около ABMK можно же описать окружность. Об этом говорится в условии. Ну так и треугольник ABM вписан в нее же, нет?

          [ Ответить ]
          • Марат

            Согласен, спасибо, Елена Юрьевна, не мог заметит.

            [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




один × пять =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif