Задание №18 Т/Р №119 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$ проведены медианы $AM$ и $BK$. Известно, что около четырехугольника $ABMK$ можно описать окружность.
а) Докажите, что $CK=CM$.
б) Пусть $AB=2$. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника $ABMK$.

Решение:

a) Очевидно, $KM\parallel AB$ ($KM$ – средняя линия $\Delta ABC$), то есть  четырехугольник $ABMK$ – трапеция.

А раз трапеция вписана а окружность, то она равнобедренная.

А значит, $AK=BM$, откуда и $CK=CM.$

Что и требовалось доказать.

б) Очевидно, $CM=CK=AK=BM=\frac{1}{\sqrt 2}.$

Далее из треугольника $ACM$ по т. Пифагора:

$AM=\sqrt{(\frac{2}{\sqrt 2})^2+(\frac{1}{\sqrt 2})^2}=\frac{\sqrt 5}{\sqrt 2}$.

Найдем площадь $S$ треугольника $ABM:$

$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt2}\cdot 2\cdot sin45^{\circ}=\frac{1}{2}.$

Найдем радис $R$ окружности, описанной около треугольника $ABM$ (он же будет радиусом, описанным около трапеции $ABMK$):

$R=\frac{MB\cdot AB\cdot AM}{4S}=\frac{\frac{1}{\sqrt2}\cdot 2\cdot \frac{\sqrt5}{\sqrt2}}{2}=\frac{\sqrt5}{2}.$

Ответ: $\frac{\sqrt5}{2}.$