Задание №18 Т/Р №163 А. Ларина

2023-06-19

Смотрите также №13№14№15№16№17№19 Тренировочной работы №163 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$2cos2x+2asinx+a-1=0$

имеет наибольшее количество решений на отрезке $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$. Чему равно это количество?

Решение:

$2cos2x+2asinx+a-1=0;$

$2(1-2sin^2x)+2asinx+a-1=0;$

$4sin^2x-2asinx-a-1=0.$

Данное уравнение рассматриваем как квадратное относительно $sinx.$

$sinx=\frac{2a\pm \sqrt{4a^2+16(a+1)}}{8};$

$sinx=\frac{2a\pm |2a+4|}{8};$

$sinx=\frac{2a\pm (2a+4)}{8};$

$sinx=\frac{a+1}{2}$ или $sinx=-\frac{1}{2}.$

Понимаем, что, независимо от $a$, помимо возможных прочих, корнями исходного уравнения будут значения $x$ следующего вида: $x=(-1)^n\cdot (-\frac{\pi}{6})+\pi n, n\in Z.$ На отрезке  $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$ – их $4$ штуки.

Снимок экрана 2016-09-20 в 22.50.47

Для того, чтобы исходное уравнение имело наибольшее количество корней ($8$) на отрезке  $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$ необходимо, чтобы

значение $\frac{a+1}{2}$ принадлежало

a) $[\frac{1}{2};1)$ (на рис. зона помечена желтым цветом)

или

б) $(-\frac{1}{2};0]$ (на рис. зона помечена оранжевым цветом)

или

в) $(-1;-\frac{1}{2})$ (на рис. зона помечена серым цветом).

Итак, решим совокупность:

$\left[\begin{array}{rcl}1\leq a+1<2,\\-1< a+1\leq 0,\\-2< a+1<-1;\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}0\leq a<1,\\-2< a\leq -1,\\-3< a<-2;\end{array}\right.$

Итак, $a\in (-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [0;1).$

Ответ: $(-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [0;1);$ $8$ корней.

Печать страницы
комментария 2
  1. Николай

    Подскажите, пожалуйста. Почему параметр а не равен 1 и -1

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Почему параметр [latexpage]$a$ не равен $-1$? Как раз равен – в ответе прописано!
      Это значению $\frac{a+1}{2}$ не следует равняться $\pm 1.$
      Горизонтальная прямaя, проходящая через точки $(0;1),(0;-1)$ в скольких точках пересекает тригонометрическую окружность? В одной! А нам желательно, чтоб в двух!

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




три × пять =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif