Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №18 Т/Р №163 А. Ларина

22 Сен 2016

Категория: 17 (С6) Параметры*Т/P A. Ларина

Задание №18 Т/Р №163 А. Ларина

Елена Репина 2016-09-22 2016-10-13

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №163 А. Ларина

18. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$2cos2x+2asinx+a-1=0$

имеет наибольшее количество решений на отрезке $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$ . Чему равно это количество?

Решение:

$2cos2x+2asinx+a-1=0;$

$2(1-2sin^2x)+2asinx+a-1=0;$

$4sin^2x-2asinx-a-1=0.$

Данное уравнение рассматриваем как квадратное относительно $sinx.$

$sinx=\frac{2a\pm \sqrt{4a^2+16(a+1)}}{8};$

$sinx=\frac{2a\pm |2a+4|}{8};$

$sinx=\frac{2a\pm (2a+4)}{8};$

$sinx=\frac{a+1}{2}$ или $sinx=-\frac{1}{2}.$

Понимаем, что, независимо от $a$ , помимо возможных прочих, корнями исходного уравнения будут значения $x$ следующего вида: $x=(-1)^n\cdot (-\frac{\pi}{6})+\pi n, n\in Z.$ На отрезке $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$ – их $4$ штуки.

Снимок экрана 2016-09-20 в 22.50.47

Для того, чтобы исходное уравнение имело наибольшее количество корней ( $8$ ) на отрезке $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$ необходимо, чтобы

значение $\frac{a+1}{2}$ принадлежало

a) $[\frac{1}{2};1)$ (на рис. зона помечена желтым цветом)

или

б) $(-\frac{1}{2};0]$ (на рис. зона помечена оранжевым цветом)

или

в) $(-1;-\frac{1}{2})$ (на рис. зона помечена серым цветом).

Итак, решим совокупность:

$&\left[\begin{gathered} \frac{1}{2}\leq \frac{a+1}{2}<1,& -\frac{1}{2}< \frac{a+1}{2}\leq 0,& -1< \frac{a+1}{2}<-\frac{1}{2};& \end{gathered}\right&$

$&\left[\begin{gathered} 1\leq a+1<2,& -1< a+1\leq 0,& -2< a+1<-1;& \end{gathered}\right&$

$&\left[\begin{gathered} 0\leq a<1,& -2< a\leq -1,& -3< a<-2;& \end{gathered}\right&$

Итак, $a\in (-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [0;1).$

Ответ: $(-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [0;1);$ $8$ корней.

Автор: egeMax | комментария 2

Печать страницы

комментария 2

Николай

2016-10-28 в 13:03

Подскажите, пожалуйста. Почему параметр а не равен 1 и -1

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-10-28 в 13:09
  
  Почему параметр $a$ не равен $-1$ ? Как раз равен – в ответе прописано!
  Это значению $\frac{a+1}{2}$ не следует равняться $\pm 1.$
  Горизонтальная прямaя, проходящая через точки $(0;1),(0;-1)$ в скольких точках пересекает тригонометрическую окружность? В одной! А нам желательно, чтоб в двух!
  
  [ Ответить ]

Задание №18 Т/Р №163 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ