Задание №18 Т/Р №163 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №163 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$2cos2x+2asinx+a-1=0$

имеет наибольшее количество решений на отрезке $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$. Чему равно это количество?

Решение:

$2cos2x+2asinx+a-1=0;$

$2(1-2sin^2x)+2asinx+a-1=0;$

$4sin^2x-2asinx-a-1=0.$

Данное уравнение рассматриваем как квадратное относительно $sinx.$

$sinx=\frac{2a\pm \sqrt{4a^2+16(a+1)}}{8};$

$sinx=\frac{2a\pm |2a+4|}{8};$

$sinx=\frac{2a\pm (2a+4)}{8};$

$sinx=\frac{a+1}{2}$ или $sinx=-\frac{1}{2}.$

Понимаем, что, независимо от $a$, помимо возможных прочих, корнями исходного уравнения будут значения $x$ следующего вида: $x=(-1)^n\cdot (-\frac{\pi}{6})+\pi n, n\in Z.$ На отрезке  $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$ – их $4$ штуки.

Для того, чтобы исходное уравнение имело наибольшее количество корней ($8$) на отрезке  $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$ необходимо, чтобы

значение $\frac{a+1}{2}$ принадлежало

a) $[\frac{1}{2};1)$ (на рис. зона помечена желтым цветом)

или

б) $(-\frac{1}{2};0]$ (на рис. зона помечена оранжевым цветом)

или

в) $(-1;-\frac{1}{2})$ (на рис. зона помечена серым цветом).

Итак, решим совокупность:

$\left[\begin{array}{rcl}1\leq a+1<2,\\-1< a+1\leq 0,\\-2< a+1<-1;\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}0\leq a<1,\\-2< a\leq -1,\\-3< a<-2;\end{array}\right.$

Итак, $a\in (-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [0;1).$

Ответ: $(-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [0;1);$ $8$ корней.