Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №163 А. Ларина
18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$2cos2x+2asinx+a-1=0$
имеет наибольшее количество решений на отрезке $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$. Чему равно это количество?
Решение:
$2cos2x+2asinx+a-1=0;$
$2(1-2sin^2x)+2asinx+a-1=0;$
$4sin^2x-2asinx-a-1=0.$
Данное уравнение рассматриваем как квадратное относительно $sinx.$
$sinx=\frac{2a\pm \sqrt{4a^2+16(a+1)}}{8};$
$sinx=\frac{2a\pm |2a+4|}{8};$
$sinx=\frac{2a\pm (2a+4)}{8};$
$sinx=\frac{a+1}{2}$ или $sinx=-\frac{1}{2}.$
Понимаем, что, независимо от $a$, помимо возможных прочих, корнями исходного уравнения будут значения $x$ следующего вида: $x=(-1)^n\cdot (-\frac{\pi}{6})+\pi n, n\in Z.$ На отрезке $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$ – их $4$ штуки.
Для того, чтобы исходное уравнение имело наибольшее количество корней ($8$) на отрезке $[-\pi;\frac{17\pi}{6}]$ необходимо, чтобы
значение $\frac{a+1}{2}$ принадлежало
a) $[\frac{1}{2};1)$ (на рис. зона помечена желтым цветом)
или
б) $(-\frac{1}{2};0]$ (на рис. зона помечена оранжевым цветом)
или
в) $(-1;-\frac{1}{2})$ (на рис. зона помечена серым цветом).
Итак, решим совокупность:
$\left[\begin{array}{rcl}1\leq a+1<2,\\-1< a+1\leq 0,\\-2< a+1<-1;\end{array}\right.$
$\left[\begin{array}{rcl}0\leq a<1,\\-2< a\leq -1,\\-3< a<-2;\end{array}\right.$
Итак, $a\in (-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [0;1).$
Ответ: $(-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [0;1);$ $8$ корней.
Подскажите, пожалуйста. Почему параметр а не равен 1 и -1
Почему параметр [latexpage]$a$ не равен $-1$? Как раз равен – в ответе прописано!
Это значению $\frac{a+1}{2}$ не следует равняться $\pm 1.$
Горизонтальная прямaя, проходящая через точки $(0;1),(0;-1)$ в скольких точках пересекает тригонометрическую окружность? В одной! А нам желательно, чтоб в двух!