Задание №18 Т/Р №163 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13№14№15№16№17№19 Тренировочной работы №163 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

2cos2x+2asinx+a-1=0

имеет наибольшее количество решений на отрезке [-\pi;\frac{17\pi}{6}]. Чему равно это количество?

Решение:

2cos2x+2asinx+a-1=0;

2(1-2sin^2x)+2asinx+a-1=0;

4sin^2x-2asinx-a-1=0.

Данное уравнение рассматриваем как квадратное относительно sinx.

sinx=\frac{2a\pm \sqrt{4a^2+16(a+1)}}{8};

sinx=\frac{2a\pm |2a+4|}{8};

sinx=\frac{2a\pm (2a+4)}{8};

sinx=\frac{a+1}{2} или sinx=-\frac{1}{2}.

Понимаем, что, независимо от a, помимо возможных прочих, корнями исходного уравнения будут значения x следующего вида: x=(-1)^n\cdot (-\frac{\pi}{6})+\pi n, n\in Z. На отрезке  [-\pi;\frac{17\pi}{6}] – их 4 штуки.

Для того, чтобы исходное уравнение имело наибольшее количество корней (8) на отрезке  [-\pi;\frac{17\pi}{6}] необходимо, чтобы

значение \frac{a+1}{2} принадлежало

a) [\frac{1}{2};1) (на рис. зона помечена желтым цветом)

или

б) (-\frac{1}{2};0] (на рис. зона помечена оранжевым цветом)

или

в) (-1;-\frac{1}{2}) (на рис. зона помечена серым цветом).

Итак, решим совокупность:

&\left[\begin{gathered} \frac{1}{2}\leq \frac{a+1}{2}<1,& -\frac{1}{2}< \frac{a+1}{2}\leq 0,& -1< \frac{a+1}{2}<-\frac{1}{2};& \end{gathered}\right&

&\left[\begin{gathered} 1\leq a+1<2,& -1< a+1\leq 0,& -2< a+1<-1;& \end{gathered}\right&

&\left[\begin{gathered} 0\leq a<1,& -2< a\leq -1,& -3< a<-2;& \end{gathered}\right&

Итак, a\in (-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [0;1).

Ответ: (-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [0;1); 8 корней.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Николай

    Подскажите, пожалуйста. Почему параметр а не равен 1 и -1

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Почему параметр a не равен -1? Как раз равен – в ответе прописано!
      Это значению \frac{a+1}{2} не следует равняться \pm 1.
      Горизонтальная прямaя, проходящая через точки (0;1),(0;-1) в скольких точках пересекает тригонометрическую окружность? В одной! А нам желательно, чтоб в двух!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif