Задание №18 Т/Р №165 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также  №13№14№15№16№17№19 Тренировочной работы №165 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

x^4-x^2+\frac{|ax|}{3\sqrt3}+a^3-a^2-2a=0

имеет ровно три корня. Для каждого такого a укажите корни. 

Решение:

Пусть x_0 – корень уравнения x^4-x^2+\frac{|ax|}{3\sqrt3}+a^3-a^2-2a=0.

Но тогда и -x_0 – корень уравнения, так как (-x_0)^4-(-x_0)^2+\frac{|-ax_0|}{3\sqrt3}+a^3-a^2-2a=x^4-x^2+\frac{|ax|}{3\sqrt3}+a^3-a^2-2a.

Потому, желая получить нечетное количество корней, потребуем, чтобы одним из корней данного уравнения был бы 0.

Тогда a^3-a^2-2a=0. Откуда a=0 или a=-1 или a=2.

Посмотрим, сколько корней имеет исходное уравнение при указанных значениях a.

1) При a=0 имеем три корня. Действительно,

x^4-x^2=0;

x^2(x^2-1)=0;

x=0 или x=\pm 1.

2) При a=2 имеем три корня. Действительно,

x^4-x^2+\frac{|2x|}{3\sqrt3}=0;

|x|^4-|x|^2+\frac{2|x|}{3\sqrt3}=0;

|x|(|x|^3-|x|+\frac{2}{3\sqrt3})=0;

|x|(|x|^3-|x|-\frac{1}{3\sqrt3}+\frac{3}{3\sqrt3})=0;

|x|((|x|^3-\frac{1}{3\sqrt3})-(|x|-\frac{1}{\sqrt3}))=0;

|x|((|x|-\frac{1}{\sqrt3})(|x|^2+\frac{|x|}{\sqrt3}+\frac{1}{3})-(|x|-\frac{1}{\sqrt3}))=0;

|x|(|x|-\frac{1}{\sqrt3})(|x|^2+\frac{|x|}{\sqrt3}-\frac{2}{3})=0;

|x|(|x|-\frac{1}{\sqrt3})(|x|-\frac{1}{\sqrt3})(|x|+\frac{2}{\sqrt3})=0;

x=0 или x=\pm \frac{1}{\sqrt3}.

3) При a=-1 имеем

x^4-x^2+\frac{|x|}{3\sqrt3}=0;

 |x|^4-|x|^2+\frac{|x|}{3\sqrt3}=0;

|x|(|x|^3-|x|+\frac{1}{3\sqrt3})=0.

Покажем, что уравнение |x|^3-|x|+\frac{1}{3\sqrt3}=0 имеет более двух корней. Это будет означать, что исходное уравнение имеет более трех корней.

Пусть для удобства |x|=t. Тогда рассмотрим уравнение t^3-t+\frac{1}{3\sqrt3}=0, t\geq 0 и покажем, что оно имеет более одного корня.

Взяв производную функции f(t)=t^3-t+\frac{1}{3\sqrt3}, понимаем, что  t=\frac{1}{\sqrt3} – точка экстремума (а именно, точка минимума) функции f(t).

При этом f(\frac{1}{\sqrt3})=\frac{1}{3\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{3\sqrt3}<0, а f(0)>0.

То есть, понимаем, что уравнение  t^3-t+\frac{1}{3\sqrt3}=0, t\geq 0 имеет два корня. Исходное тогда – более трех.

Итак, три корня исходное уравнение имеет при a=0 или  a=2.

При a=0 корни уравнения – 0; \pm 1. При a=2 корни уравнения – 0;  \pm \frac{1}{\sqrt3}.

Ответ: три корня при a=0 или  a=2;

a=0: 0; \pm 1;

a=2: 0; \pm \frac{1}{\sqrt3}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif