Задание №18 Т/Р №165 А. Ларина

[latexpage]Смотрите также  №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №165 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$x^4-x^2+\frac{|ax|}{3\sqrt3}+a^3-a^2-2a=0$

имеет ровно три корня. Для каждого такого $a$ укажите корни. 

Решение:

Пусть $x_0$ – корень уравнения $x^4-x^2+\frac{|ax|}{3\sqrt3}+a^3-a^2-2a=0.$

Но тогда и $-x_0$ – корень уравнения, так как $(-x_0)^4-(-x_0)^2+\frac{|-ax_0|}{3\sqrt3}+a^3-a^2-2a=x^4-x^2+\frac{|ax|}{3\sqrt3}+a^3-a^2-2a.$

Потому, желая получить нечетное количество корней, потребуем, чтобы одним из корней данного уравнения был бы $0$.

Тогда $a^3-a^2-2a=0.$ Откуда $a=0$ или $a=-1$ или $a=2.$

Посмотрим, сколько корней имеет исходное уравнение при указанных значениях $a.$

1) При $a=0$ имеем три корня. Действительно,

$x^4-x^2=0;$

$x^2(x^2-1)=0;$

$x=0$ или $x=\pm 1.$

2) При $a=2$ имеем три корня. Действительно,

$x^4-x^2+\frac{|2x|}{3\sqrt3}=0;$

$|x|^4-|x|^2+\frac{2|x|}{3\sqrt3}=0;$

$|x|(|x|^3-|x|+\frac{2}{3\sqrt3})=0;$

$|x|(|x|^3-|x|-\frac{1}{3\sqrt3}+\frac{3}{3\sqrt3})=0;$

$|x|((|x|^3-\frac{1}{3\sqrt3})-(|x|-\frac{1}{\sqrt3}))=0;$

$|x|((|x|-\frac{1}{\sqrt3})(|x|^2+\frac{|x|}{\sqrt3}+\frac{1}{3})-(|x|-\frac{1}{\sqrt3}))=0;$

$|x|(|x|-\frac{1}{\sqrt3})(|x|^2+\frac{|x|}{\sqrt3}-\frac{2}{3})=0;$

$|x|(|x|-\frac{1}{\sqrt3})(|x|-\frac{1}{\sqrt3})(|x|+\frac{2}{\sqrt3})=0;$

$x=0$ или $x=\pm \frac{1}{\sqrt3}$.

3) При $a=-1$ имеем

$x^4-x^2+\frac{|x|}{3\sqrt3}=0;$

 $|x|^4-|x|^2+\frac{|x|}{3\sqrt3}=0;$

$|x|(|x|^3-|x|+\frac{1}{3\sqrt3})=0.$

Покажем, что уравнение $|x|^3-|x|+\frac{1}{3\sqrt3}=0$ имеет более двух корней. Это будет означать, что исходное уравнение имеет более трех корней.

Пусть для удобства $|x|=t.$ Тогда рассмотрим уравнение $t^3-t+\frac{1}{3\sqrt3}=0, t\geq 0$ и покажем, что оно имеет более одного корня.

Взяв производную функции $f(t)=t^3-t+\frac{1}{3\sqrt3}$, понимаем, что  $t=\frac{1}{\sqrt3}$ – точка экстремума (а именно, точка минимума) функции $f(t).$

При этом $f(\frac{1}{\sqrt3})=\frac{1}{3\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{3\sqrt3}<0,$ а $f(0)>0.$

То есть, понимаем, что уравнение  $t^3-t+\frac{1}{3\sqrt3}=0, t\geq 0$ имеет два корня. Исходное тогда – более трех.

Итак, три корня исходное уравнение имеет при $a=0$ или  $a=2$.

При $a=0$ корни уравнения – $0$; $\pm 1$. При $a=2$ корни уравнения – $0$;  $\pm \frac{1}{\sqrt3}$.

Ответ: три корня при $a=0$ или  $a=2;$

$a=0$: $0$; $\pm 1$;

$a=2$: $0$; $\pm \frac{1}{\sqrt3}$.