Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №165 А. Ларина
18. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно три корня. Для каждого такого укажите корни.
Решение:
Пусть – корень уравнения
Но тогда и – корень уравнения, так как
Потому, желая получить нечетное количество корней, потребуем, чтобы одним из корней данного уравнения был бы .
Тогда Откуда
или
или
Посмотрим, сколько корней имеет исходное уравнение при указанных значениях
1) При имеем три корня. Действительно,
или
2) При имеем три корня. Действительно,
или
.
3) При имеем
Покажем, что уравнение имеет более двух корней. Это будет означать, что исходное уравнение имеет более трех корней.
Пусть для удобства Тогда рассмотрим уравнение
и покажем, что оно имеет более одного корня.
Взяв производную функции , понимаем, что
– точка экстремума (а именно, точка минимума) функции
При этом а
То есть, понимаем, что уравнение имеет два корня. Исходное тогда – более трех.
Итак, три корня исходное уравнение имеет при или
.
При корни уравнения –
;
. При
корни уравнения –
;
.
Ответ: три корня при или
:
;
;
:
;
.
Добавить комментарий