Задание №18 Т/Р №167 А. Ларина

Смотрите также  №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №167 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\large ax^2+x+a-1=0$

 имеет два различных корня $x_1,x_2,$ удовлетворяющих неравенству $\large|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|>1$. 

Решение:

Если $a=0,$ то уравнение имеет только один корень.

Пусть $a\neq 0.$

Заметим, $x$ не должен равняться нулю, а значит $a\neq 1.$

Заметим также, для существования двух различных корней необходимо:

$1-4a^2+4a>0,$

то есть

$\large a \in (\frac{1-\sqrt2}{2};\frac{1+\sqrt2}{2})$  (*)

Неравенство

$\large|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|>1$

перепишем следующим образом:

$\large|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|-|1|>0.$

Так как неравенство вида $|a|-|b|>0$ равносильно неравенству $(a-b)(a+b)>0$, то имеем:

$\large(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}-1)(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}+1)>0;$

$\large(\frac{x_2-x_1-x_1x_2}{x_1x_2})(\frac{x_2-x_1+x_1x_2}{x_1x_2})>0;$

$\large\frac{(x_2-x_1-x_1x_2)(x_2-x_1+x_1x_2)}{(x_1x_2)^2}>0;$

$((x_2-x_1)-x_1x_2)((x_2-x_1)+x_1x_2)>0;$

$(x_2-x_1)^2-(x_1x_2)^2>0;$

$ x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-(x_1x_2)^2>0;$

$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2-(x_1x_2)^2>0.$

По теореме Виета $x_1+x_2=-\frac{1}{a}$ и $ x_1x_2=\frac{a-1}{a}.$

Тогда

$\large (-\frac{1}{a})^2-\frac{4(a-1)}{a}-(\frac{a-1}{a})^2>0;$

$\large\frac{1}{a^2}-\frac{4a-4}{a}-\frac{a^2-2a+1}{a^2}>0;$

$\large\frac{1-4a^2+4a-a^2+2a-1}{a^2}>0;$

$\large\frac{5a^2-6a}{a^2}<0;$

$\large\frac{5a-6}{a}<0;$

$a\in (0;\frac{6}{5}).$

С учетом того, что $a\neq 1$ и (*), получаем, что подходящие значения параметра $a$ таковы:

$a\in (0;1)\cup (1;\frac{6}{5}).$

 Ответ: $(0;1)\cup(1;\frac{6}{5}).$