Задание №18 Т/Р №167 А. Ларина

2016-10-23

Смотрите также  №13№14№15№16№17№19 Тренировочной работы №167 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

ax^2+x+a-1=0

 имеет два различных корня x_1,x_2, удовлетворяющих неравенству |\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|>1

Решение:

Если a=0, то уравнение имеет только один корень.

Пусть a\neq 0.

Заметим, x не должен равняться нулю, а значит a\neq 1.

Заметим также, для существования двух различных корней необходимо:

1-4a^2+4a>0,

то есть

a \in (\frac{1-\sqrt2}{2};\frac{1+\sqrt2}{2})  (*)

Неравенство

|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|>1

перепишем следующим образом:

|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|-|1|>0.

Так как неравенство вида |a|-|b|>0 равносильно неравенству (a-b)(a+b)>0, то имеем:

(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}-1)(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}+1)>0;

(\frac{x_2-x_1-x_1x_2}{x_1x_2})(\frac{x_2-x_1+x_1x_2}{x_1x_2})>0;

\frac{(x_2-x_1-x_1x_2)(x_2-x_1+x_1x_2)}{(x_1x_2)^2}>0;

((x_2-x_1)-x_1x_2)((x_2-x_1)+x_1x_2)>0;

(x_2-x_1)^2-(x_1x_2)^2>0;

x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-(x_1x_2)^2>0;

(x_1+x_2)^2-4x_1x_2-(x_1x_2)^2>0.

По теореме Виета x_1+x_2=-\frac{1}{a} и x_1x_2=\frac{a-1}{a}.

Тогда

(-\frac{1}{a})^2-\frac{4(a-1)}{a}-(\frac{a-1}{a})^2>0;

\frac{1}{a^2}-\frac{4a-4}{a}-\frac{a^2-2a+1}{a^2}>0;

\frac{1-4a^2+4a-a^2+2a-1}{a^2}>0;

\frac{5a^2-6a}{a^2}<0;

\frac{5a-6}{a}<0;

a\in (0;\frac{6}{5}).

С учетом того, что a\neq 1 и (*), получаем, что подходящие значения параметра a таковы:

a\in (0;1)\cup (1;\frac{6}{5}).

 Ответ: (0;1)\cup(1;\frac{6}{5}).

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif