Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №18 Т/Р №167 А. Ларина

20 Окт 2016

Категория: 17 (С6) Параметры*Т/P A. Ларина

Задание №18 Т/Р №167 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-20 2016-10-23

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №167 А. Ларина

18. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$ax^2+x+a-1=0$

имеет два различных корня $x_1,x_2,$ удовлетворяющих неравенству $|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|>1$ .

Решение:

Если $a=0,$ то уравнение имеет только один корень.

Пусть $a\neq 0.$

Заметим, $x$ не должен равняться нулю, а значит $a\neq 1.$

Заметим также, для существования двух различных корней необходимо:

$1-4a^2+4a>0,$

то есть

$a \in (\frac{1-\sqrt2}{2};\frac{1+\sqrt2}{2})$ (*)

Неравенство

$|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|>1$

перепишем следующим образом:

$|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|-|1|>0.$

Так как неравенство вида $|a|-|b|>0$ равносильно неравенству $(a-b)(a+b)>0$ , то имеем:

$(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}-1)(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}+1)>0;$

$(\frac{x_2-x_1-x_1x_2}{x_1x_2})(\frac{x_2-x_1+x_1x_2}{x_1x_2})>0;$

$\frac{(x_2-x_1-x_1x_2)(x_2-x_1+x_1x_2)}{(x_1x_2)^2}>0;$

$((x_2-x_1)-x_1x_2)((x_2-x_1)+x_1x_2)>0;$

$(x_2-x_1)^2-(x_1x_2)^2>0;$

$x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-(x_1x_2)^2>0;$

$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2-(x_1x_2)^2>0.$

По теореме Виета $x_1+x_2=-\frac{1}{a}$ и $x_1x_2=\frac{a-1}{a}.$

Тогда

$(-\frac{1}{a})^2-\frac{4(a-1)}{a}-(\frac{a-1}{a})^2>0;$

$\frac{1}{a^2}-\frac{4a-4}{a}-\frac{a^2-2a+1}{a^2}>0;$

$\frac{1-4a^2+4a-a^2+2a-1}{a^2}>0;$

$\frac{5a^2-6a}{a^2}<0;$

$\frac{5a-6}{a}<0;$

$a\in (0;\frac{6}{5}).$

С учетом того, что $a\neq 1$ и (*), получаем, что подходящие значения параметра $a$ таковы:

$a\in (0;1)\cup (1;\frac{6}{5}).$

Ответ: $(0;1)\cup(1;\frac{6}{5}).$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (34)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (94)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы