Задание №18 Т/Р №196 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №196 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$log^2_x(2ax+1-a^2)-2log_x(2ax+1-a^2)=0$

имеет более двух корней.

Решение:

$log^2_x(2ax+1-a^2)-2log_x(2ax+1-a^2)=0;$

$log_x(2ax+1-a^2)(log_x(2ax+1-a^2)-2)=0;$

$(log_x(2ax+1-a^2)-0)(log_x(2ax+1-a^2)-2)=0;$

$(log_x(2ax+1-a^2)-log_x1)(log_x(2ax+1-a^2)-log_xx^2)=0;$

$\begin{cases}(x-1)^2(2ax+1-a^2-1)(2ax+1-a^2-x^2)=0,\\x>0,\\x\neq 1,\\2ax+1-a^2>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}a(2x-a)(x-a-1)(x-a+1)=0,\\x>0,\\x\neq 1,\\2ax+1-a^2>0;&\end{cases}$

Заметим, если $a=0,$ то уравнение имеет бесконечно много различных корней.

Если $a\neq 0,$ то

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x=\frac{a}{2},\\x=a-1,\\x=a+1;\end{array}\right.\\x>0,\\x\neq 1,\\2ax+1-a^2>0;&\end{cases}$

Необходимо, чтобы все корни $x=a-1,x=a+1,x=\frac{a}{2}$ были бы различны и удовлетворяли бы условиям $x>0,x\neq 1,2ax+1-a^2>0.$

Чтобы корни $x=a-1,x=a+1,x=\frac{a}{2}$ были различны необходимо потребовать, чтобы $a\neq \pm 2.$

Далее

$\begin{cases}a-1>0,\\a+1>0,\\\frac{a}{2}>0,\\a-1\neq 1,\\a+1\neq 1,\\\frac{a}{2}\neq 1,\\2a(a-1)+1-a^2>0,\\2a(a+1)+1-a^2>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}a>1,\\a\neq 2,\\(a-1)^2>0,\\(a+1)^2>0;&\end{cases}$

$a\in (1;2)\cup (2;+\infty).$

Итак, значения параметра $a$, при которых исходное уравнение имеет более двух корней, таковы:

$a\in ${$0$}$\cup (1;2)\cup (2;+\infty).$

Ответ: {$0$}$\cup (1;2)\cup (2;+\infty).$