Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №18 Т/Р №204 А. Ларина

28 Сен 2017

Категория: 17 (С6) Параметры*Т/P A. Ларина

Задание №18 Т/Р №204 А. Ларина

Елена Репина 2017-09-28 2017-10-15

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №204 А. Ларина.

18. Найти все $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} y-ax=a+5,& &xy^2-x^2y-2xy+4x-4y+8=0;& \end{cases}$

имеет ровно два решения.

Решение:

$\begin{cases} y=a(x+1)+5,& &xy(y-x-2)-4(y-x-2)=0;& \end{cases}$

$\begin{cases} y=a(x+1)+5,& &(xy-4)(y-x-2)=0;& \end{cases}$

$\begin{cases} y=a(x+1)+5,& &\left[\begin{gathered} y=\frac{4}{x},& y=x+2;& \end{gathered}\right& \end{cases}$

График первой строки исходной системы – семейство прямых, проходящих через точку $(-1;5).$

График второй строки исходной системы – объединение гиперболы $y=\frac{4}{x}$ и прямой $y=x+2.$

1) Найдем $a$ , отвечающее за прохождение прямой $y=a(x+1)+5$ через точку пересечения $y=\frac{4}{x}$ , $y=x+2.$

Решив систему уравнений

$\begin{cases} y=\frac{4}{x},& &y=x+2,& \end{cases}$

получим координаты точек пересечения $y=\frac{4}{x}$ , $y=x+2:$

$N (-1-\sqrt5;1-\sqrt5),$ $M(-1+\sqrt5;1+\sqrt5)$ .

Откуда, $a=1+\frac{4}{\sqrt5}$ (соответствует прохождению прямой $y=a(x+1)+5$ через точку $N$ ) или $a=1-\frac{4}{\sqrt5}$ (соответствует прохождению прямой $y=a(x+1)+5$ через точку $M$ ).

2) В случае, когда прямая $y=a(x+1)+5$ параллельна прямой $y=x+2,$ то есть при $a=1$ , мы имеем две точки пересечения прямой $y=a(x+1)+5$ и множества точек $(xy-4)(y-x-2)=0.$

3) В случае, когда прямая $y=a(x+1)+5$ параллельна оси $(ox),$ то есть при $a=0$ , мы имеем две точки пересечения прямой $y=a(x+1)+5$ и множества точек $(xy-4)(y-x-2)=0.$

4) Найдем $a,$ отвечающее за касание прямой $y=a(x+1)+5$ и гиперболы $y=\frac{4}{x}.$

Так как уравнение касательной к гиперболе $y=\frac{4}{x}$ , проведенной через точку $(x_0;y(x_0))$ имеет вид $y=-\frac{4}{x_0^2}(x-x_0)+\frac{4}{x_0},$ то составим систему:

$\begin{cases} -\frac{4}{x_0^2}=a,& &\frac{4}{x_0}+\frac{4}{x_0}=a+5,& \end{cases}$

$\begin{cases} -\frac{4}{x_0^2}=a,& &-\frac{4}{x_0}+\frac{4}{x_0}=-\frac{4}{x_0^2}+5,& \end{cases}$

$\begin{cases} -\frac{4}{x_0^2}=a,& &(\frac{2}{x_0})^2+4\cdot \frac{2}{x_0}-5=0,& \end{cases}$

$\begin{cases} -\frac{4}{x_0^2}=a,& &\left[\begin{gathered} \frac{2}{x_0}=-5,& \frac{2}{x_0}=1;& \end{gathered}\right& \end{cases}$

$\begin{cases} -\frac{4}{x_0^2}=a,& &\left[\begin{gathered} x_0=-0,4& x_0=2;& \end{gathered}\right& \end{cases}$

Откуда $a=-1$ или $a=-25$ .

На рисунке красными линиями помечены те положения прямой $y=a(x+1)+5,$ которые будут давать ровно два пересечения с множеством точек $(xy-4)(y-x-2)=0.$

Салатовым цветом указана зона расположения прямых $y=a(x+1)+5,$ отвечающих за одно решение исходной системы.

Желтым цветом указана зона расположения прямых $y=a(x+1)+5,$ отвечающих за три решения исходной системы.

Итак, укажем $a,$ при которых исходная система будет давать два решения:

${-25;\pm 1;0;1\pm \frac{4}{\sqrt5}}.$

Ответ: ${-25;\pm 1;0;1\pm \frac{4}{\sqrt5}}.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Задание №18 Т/Р №204 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ