Задание №18 Т/Р №204 А. Ларина

2017-10-15

Смотрите также №13; №14№15№16; №17№19 Тренировочной работы №204 А. Ларина.

18. Найти все a, при каждом из которых система

 \begin{cases} y-ax=a+5,& &xy^2-x^2y-2xy+4x-4y+8=0;& \end{cases}

имеет ровно два решения.

Решение:

 \begin{cases} y=a(x+1)+5,& &xy(y-x-2)-4(y-x-2)=0;& \end{cases}

\begin{cases} y=a(x+1)+5,& &(xy-4)(y-x-2)=0;& \end{cases}

\begin{cases} y=a(x+1)+5,& &\left[\begin{gathered} y=\frac{4}{x},& y=x+2;& \end{gathered}\right& \end{cases}

График первой строки исходной системы – семейство прямых, проходящих через точку (-1;5).

График второй строки исходной системы – объединение гиперболы y=\frac{4}{x} и прямой y=x+2.

1) Найдем a,  отвечающее за прохождение прямой y=a(x+1)+5 через точку пересечения y=\frac{4}{x}, y=x+2.

Решив систему уравнений

\begin{cases} y=\frac{4}{x},& &y=x+2,& \end{cases}

получим координаты точек пересечения y=\frac{4}{x}, y=x+2:

N (-1-\sqrt5;1-\sqrt5),  M(-1+\sqrt5;1+\sqrt5).

Откуда,  a=1+\frac{4}{\sqrt5} (соответствует прохождению прямой y=a(x+1)+5  через точку N) или a=1-\frac{4}{\sqrt5} (соответствует прохождению прямой y=a(x+1)+5  через точку M).

2) В случае, когда прямая y=a(x+1)+5 параллельна прямой y=x+2, то есть при a=1, мы имеем две точки пересечения прямой y=a(x+1)+5 и множества точек (xy-4)(y-x-2)=0.

3) В случае, когда прямая y=a(x+1)+5 параллельна оси (ox), то есть при a=0, мы имеем две точки пересечения прямой y=a(x+1)+5 и множества точек (xy-4)(y-x-2)=0.

4) Найдем a, отвечающее за касание прямой y=a(x+1)+5 и гиперболы y=\frac{4}{x}.

Так как уравнение касательной к гиперболе y=\frac{4}{x}, проведенной через точку (x_0;y(x_0)) имеет вид  y=-\frac{4}{x_0^2}(x-x_0)+\frac{4}{x_0}, то составим систему:

\begin{cases} -\frac{4}{x_0^2}=a,& &\frac{4}{x_0}+\frac{4}{x_0}=a+5,& \end{cases}

\begin{cases} -\frac{4}{x_0^2}=a,& &-\frac{4}{x_0}+\frac{4}{x_0}=-\frac{4}{x_0^2}+5,& \end{cases}

\begin{cases} -\frac{4}{x_0^2}=a,& &(\frac{2}{x_0})^2+4\cdot \frac{2}{x_0}-5=0,& \end{cases}

\begin{cases} -\frac{4}{x_0^2}=a,& &(\frac{2}{x_0})^2+4\cdot \frac{2}{x_0}-5=0,& \end{cases}

\begin{cases} -\frac{4}{x_0^2}=a,& &\left[\begin{gathered} \frac{2}{x_0}=-5,& \frac{2}{x_0}=1;& \end{gathered}\right& \end{cases}

\begin{cases} -\frac{4}{x_0^2}=a,& &\left[\begin{gathered} x_0=-0,4& x_0=2;& \end{gathered}\right& \end{cases}

Откуда a=-1 или a=-25.

На рисунке красными линиями  помечены те положения прямой y=a(x+1)+5, которые будут давать ровно два пересечения с множеством точек (xy-4)(y-x-2)=0.

Салатовым цветом указана зона расположения прямых y=a(x+1)+5, отвечающих за одно решение исходной системы.

Желтым цветом указана зона расположения прямых y=a(x+1)+5, отвечающих за три решения исходной системы.

Итак, укажем a, при которых исходная система будет давать два решения:

{-25;\pm 1;0;1\pm \frac{4}{\sqrt5}}.

Ответ: {-25;\pm 1;0;1\pm \frac{4}{\sqrt5}}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

11 − 7 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif