Задание №18 Т/Р №205 А. Ларина

2017-10-04

Смотрите также №13; №14№15№16; №17№19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

18. Найти все значения a, при каждом из которых уравнение

\sqrt{a-(a+1)(2x+4)}=x+1

 имеет ровно один корень.

Решение:

\sqrt{a-(a+1)(2x+4)}=x+1;

\begin{cases} a-(a+1)(2x+4)=(x+1)^2,& & x+1\geq 0; \end{cases}

\begin{cases} x^2+4x+5=-2ax-3a,& & x\geq -1; \end{cases}

Построим в системе координат (xoy) график функции y=x^2+4x+5 при условии x\geq -1 – часть параболы y=(x+2)^2+1,x\geq -1 с вершиной в точке (-2;1).

И будем отслеживать, при каких значениях параметра a прямая y=-2ax-3a будет пересекать указанный кусок параболы ровно один раз.

y=-2a(x+\frac{3}{2}) – семейство прямых, проходящих через точку (-\frac{3}{2};0).

Найдем a, отвечающее за прохождение прямой y=-2ax-3a через точку A(-1;2) (см. рис.)

2=-2a\cdot (-1)-3a;

a=-2.

Найдем a, отвечающее за касание прямой y=-2ax-3a и части параболы y=(x+2)^2+1,x\geq -1.

Составим в общем виде уравнение касательной к y=x^2+4x+5 через точку (x_0;y(x_0)):

y_{kas}=(2x_0+4)(x-x_0)+x_0^2+4x_0+5;

y_{kas}=(2x_0+4)x-x_0^2+5.

Тогда, так как мы полагаем, что и y=-2ax-3a –  касательная к y=x^2+4x+5 в точке (x_0;y(x_0)), то

\begin{cases} 2x_0+4=-2a,& &-x_0^2+5=-3a; \end{cases}

\begin{cases} -x_0-2=a,& &x_0^2+3x_0+1=0; \end{cases}

\begin{cases} a=-\frac{-3\pm \sqrt5}{2}-2,& &x_0=\frac{-3\pm \sqrt5}{2}; \end{cases}

Так как мы работаем в зоне x\geq -1, то нас интересует точка x_0=\frac{-3+\sqrt5}{2}.

Но тогда a=-\frac{-3+\sqrt5}{2}-2=\frac{-1-\sqrt5}{2}.

Итак, единственное решение исходное уравнение будет иметь при

a\in (-\infty;-2)\cup\left \{ \frac{-1-\sqrt5}{2} \right \}.

При a\in [-2;\frac{-1-\sqrt5}{2}) – исходное уравнение будет иметь два решения, при (\frac{-1-\sqrt5}{2};+\infty) – решений нет.

Ответ: (-\infty;-2)\cup\left \{ \frac{-1-\sqrt5}{2} \right \}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

18 − один =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif