Задание №18 Т/Р №205 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

18. Найти все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$\sqrt{a-(a+1)(2x+4)}=x+1$

 имеет ровно один корень.

Решение:

$\sqrt{a-(a+1)(2x+4)}=x+1;$

$\begin{cases}
a-(a+1)(2x+4)=(x+1)^2,\\
x+1\geq 0;
\end{cases}$

$\begin{cases}
x^2+4x+5=-2ax-3a,\\
x\geq -1;
\end{cases}$

Построим в системе координат $(xoy)$ график функции $y=x^2+4x+5$ при условии $x\geq -1$ – часть параболы $y=(x+2)^2+1,x\geq -1$ с вершиной в точке $(-2;1).$

И будем отслеживать, при каких значениях параметра $a$ прямая $y=-2ax-3a$ будет пересекать указанный кусок параболы ровно один раз.

$y=-2a(x+\frac{3}{2})$ – семейство прямых, проходящих через точку $(-\frac{3}{2};0).$

Найдем $a,$ отвечающее за прохождение прямой $y=-2ax-3a$ через точку $A(-1;2)$ (см. рис.)

$2=-2a\cdot (-1)-3a;$

$a=-2.$

Найдем $a,$ отвечающее за касание прямой $y=-2ax-3a$ и части параболы $y=(x+2)^2+1,x\geq -1$.

Составим в общем виде уравнение касательной к $y=x^2+4x+5$ через точку $(x_0;y(x_0)):$

$y_{kas}=(2x_0+4)(x-x_0)+x_0^2+4x_0+5;$

$y_{kas}=(2x_0+4)x-x_0^2+5.$

Тогда, так как мы полагаем, что и $y=-2ax-3a$ –  касательная к $y=x^2+4x+5$ в точке $(x_0;y(x_0)),$ то

$\begin{cases}
2x_0+4=-2a,\\
-x_0^2+5=-3a;
\end{cases}$

$\begin{cases}
-x_0-2=a,\\
x_0^2+3x_0+1=0;
\end{cases}$

$\begin{cases}
a=-\frac{-3\pm \sqrt5}{2}-2,\\
x_0=\frac{-3\pm \sqrt5}{2};
\end{cases}$

Так как мы работаем в зоне $x\geq -1,$ то нас интересует точка $x_0=\frac{-3+\sqrt5}{2}.$

Но тогда $a=-\frac{-3+\sqrt5}{2}-2=\frac{-1-\sqrt5}{2}.$

Итак, единственное решение исходное уравнение будет иметь при

$a\in (-\infty;-2)\cup\left \{ \frac{-1-\sqrt5}{2} \right \}.$

При $a\in [-2;\frac{-1-\sqrt5}{2})$ – исходное уравнение будет иметь два решения, при $(\frac{-1-\sqrt5}{2};+\infty)$ – решений нет.

Ответ: $(-\infty;-2)\cup\left \{ \frac{-1-\sqrt5}{2} \right \}.$