Задание №18 Т/Р №207 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.

18. При каких значениях параметра $a$ для всякого $x$ из $[0;7]$ верно неравенство

 $||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|\leq 7x+24.$

Решение:

Рассмотрим функцию $f(x)=||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24.$

Как бы мы не раскрывали модули, коэффициент при $x$ после приведения подобных слагаемых будет отрицателен. То есть $f(x)$ – убывающая (линейная) функция.

$f(x)\leq 0$ на $[0;7]$, если мы потребуем $f(0)\leq 0.$

Итак,

$||2a|-3a|+||-a|+4a|-24\leq 0;$

Если $a\geq 0,$ то

$|2a-3a|+|a+4a|\leq 24;$

$a+5a\leq 24;$

$a\leq 4.$

Если $a<0,$ то

$|-2a-3a|+|-a+4a|\leq 24;$

$-5a-3a\leq 24;$

$a\geq -3;$

Итак, исходное неравенство верно для всякого $x$ из $[0;7]$ при $a\in [-3;4].$

Ответ: $[-3;4].$