Задание №18 Т/Р №209 А. Ларина

2017-10-31

Смотрите также №13; №14№15№16; №17№19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

18. При каких значениях параметра a система уравнений

\begin{cases} 9y=(a-1)^2+9(x-a)^2,& &y=log_2(1+\frac{|x|}{x});& \end{cases}

имеет единственное решение?

Решение:

\begin{cases} y=(x-a)^2+\frac{(a-1)^2}{9},& &y=log_2(1+\frac{|x|}{x});& \end{cases}

Заметим, 1+\frac{|x|}{x} может принимать значения 2 или 0 в зависимости от знака x.

Но так как 1+\frac{|x|}{x}>0 (как подлогарифмное выражение), то

1+\frac{|x|}{x}=2,

откуда y=log_22 при x>0.

Вторая строка системы задает открытый луч y=1 при x>0.

Первая строка системы – семейство парабол с вершинами (a;\frac{(a-1)^2}{9}) на параболе y=\frac{(x-1)^2}{9}.

Если парабола y=(x-a)^2+\frac{(a-1)^2}{9} имеет в качестве вершины точку пересечения луча y=1,x>0 и параболы y=\frac{(x-1)^2}{9}, точку A(4;1), то a=4 как раз и дает единственное решение исходной системы.

Также единственное решение система будет иметь в случае, если парабола y=(x-a)^2+\frac{(a-1)^2}{9} располагается в зоне, помеченной на рисунке синим цветом (одна из границ зоны – открытая, другая – закрытая).

Найдем  значения a, отвечающие за прохождение нашей параболы через точку B(0;1):

1=(0-a)^2+\frac{(a-1)^2}{9};

9=9a^2+a^2-2a+1;

10a^2-2a-8=0;

5a^2-a-4=0;

a=1 или a=-0,8.

Итак, исходная система имеет единственное решение при a\in (-0,8;1]\cup \left \{ 4 \right \}.

Ответ: (-0,8;1]\cup \left \{ 4 \right \}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

10 − 2 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif