Задание №18 Т/Р №209 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

18. При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases}
9y=(a-1)^2+9(x-a)^2,\\
y=log_2(1+\frac{|x|}{x});&
\end{cases}$

имеет единственное решение?

Решение:

$\begin{cases}
y=(x-a)^2+\frac{(a-1)^2}{9},\\
y=log_2(1+\frac{|x|}{x});&
\end{cases}$

Заметим, $1+\frac{|x|}{x}$ может принимать значения $2$ или $0$ в зависимости от знака $x$.

Но так как $1+\frac{|x|}{x}>0$ (как подлогарифмное выражение), то

$1+\frac{|x|}{x}=2,$

откуда $y=log_22$ при $x>0.$

Вторая строка системы задает открытый луч $y=1$ при $x>0.$

Первая строка системы – семейство парабол с вершинами $(a;\frac{(a-1)^2}{9})$ на параболе $y=\frac{(x-1)^2}{9}.$

Если парабола $y=(x-a)^2+\frac{(a-1)^2}{9}$ имеет в качестве вершины точку пересечения луча $y=1,x>0$ и параболы $y=\frac{(x-1)^2}{9}$, точку $A(4;1)$, то $a=4$ как раз и дает единственное решение исходной системы.

Также единственное решение система будет иметь в случае, если парабола $y=(x-a)^2+\frac{(a-1)^2}{9}$ располагается в зоне, помеченной на рисунке синим цветом (одна из границ зоны – открытая, другая – закрытая).

Найдем  значения $a,$ отвечающие за прохождение нашей параболы через точку $B(0;1):$

$1=(0-a)^2+\frac{(a-1)^2}{9};$

$9=9a^2+a^2-2a+1;$

$10a^2-2a-8=0;$

$5a^2-a-4=0;$

$a=1$ или $a=-0,8.$

Итак, исходная система имеет единственное решение при $a\in (-0,8;1]\cup \left \{ 4 \right \}.$

Ответ: $ (-0,8;1]\cup \left \{ 4 \right \}.$