Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №18 Т/Р №209 А. Ларина

02 Ноя 2017

Категория: 17 (С6) Параметры*Т/P A. Ларина

Задание №18 Т/Р №209 А. Ларина

Елена Репина 2017-11-02 2017-10-31

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

18. При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases} 9y=(a-1)^2+9(x-a)^2,& &y=log_2(1+\frac{|x|}{x});& \end{cases}$

имеет единственное решение?

Решение:

$\begin{cases} y=(x-a)^2+\frac{(a-1)^2}{9},& &y=log_2(1+\frac{|x|}{x});& \end{cases}$

Заметим, $1+\frac{|x|}{x}$ может принимать значения $2$ или $0$ в зависимости от знака $x$ .

Но так как $1+\frac{|x|}{x}>0$ (как подлогарифмное выражение), то

$1+\frac{|x|}{x}=2,$

откуда $y=log_22$ при $x>0.$

Вторая строка системы задает открытый луч $y=1$ при $x>0.$

Первая строка системы – семейство парабол с вершинами $(a;\frac{(a-1)^2}{9})$ на параболе $y=\frac{(x-1)^2}{9}.$

Если парабола $y=(x-a)^2+\frac{(a-1)^2}{9}$ имеет в качестве вершины точку пересечения луча $y=1,x>0$ и параболы $y=\frac{(x-1)^2}{9}$ , точку $A(4;1)$ , то $a=4$ как раз и дает единственное решение исходной системы.

Также единственное решение система будет иметь в случае, если парабола $y=(x-a)^2+\frac{(a-1)^2}{9}$ располагается в зоне, помеченной на рисунке синим цветом (одна из границ зоны – открытая, другая – закрытая).

Найдем значения $a,$ отвечающие за прохождение нашей параболы через точку $B(0;1):$

$1=(0-a)^2+\frac{(a-1)^2}{9};$

$9=9a^2+a^2-2a+1;$

$10a^2-2a-8=0;$

$5a^2-a-4=0;$

$a=1$ или $a=-0,8.$

Итак, исходная система имеет единственное решение при $a\in (-0,8;1]\cup \left \{ 4 \right \}.$

Ответ: $(-0,8;1]\cup \left \{ 4 \right \}.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (28)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы