Задание №18 Т/Р №210 А. Ларина

2017-11-08

Смотрите также №13№14№15№16; №17№19 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

18. При каких значениях параметра a среди решений неравенства

 log_2(x-100)-log_{\frac{1}{2}}\frac{|x-101|}{105-x}+log_2\frac{|x-103|(105-x)}{x-100}>a.

содержится единственное целое число?

Решение:

 log_2(x-100)-log_{\frac{1}{2}}\frac{|x-101|}{105-x}+log_2\frac{|x-103|(105-x)}{x-100}>a;

 log_2(x-100)+log_2\frac{|x-101|}{105-x}+log_2\frac{|x-103|(105-x)}{x-100}>a.

Замечаем, что так как \frac{|x-101|}{105-x}>0, то 105-x>0 и c учетом \frac{|x-103|(105-x)}{x-100}>0, замечаем, что и  x-100>0.

Поэтому совершаем равносильный переход:

 log_2(x-100)+log_2|x-101|-log_2(105-x)+log_2|x-103|+log_2(105-x)-

-log_2(x-100)>a;

 log_2|x-101|+log_2|x-103|>a, при условии 100<x<105;

|x-101||x-103|>2^a, при условии 100<x<105  (*)

На промежутке (100;105) четыре целых значения x – это 101;102;103;104.

При x=101 и при x=103  2^a<0, что невозможно. x=101,x=103  не являются решениями неравенства.

Для того, чтобы x=102 являлся бы корнем  (*), необходимо и достаточно –  2^a<1, то есть  a<0.

Для того, чтобы x=104 являлся бы корнем  (*), необходимо и достаточно –   2^a<3, то есть  a<log_23.

Видно, что только при a\in [0;log_23)  (*), а значит и исходное неравенство, имеет единственное целое решение.

Ответ: [0;log_23)

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

три × 5 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif