Задание №18 Т/Р №210 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

18. При каких значениях параметра $a$ среди решений неравенства

 $log_2(x-100)-log_{\frac{1}{2}}\frac{|x-101|}{105-x}+log_2\frac{|x-103|(105-x)}{x-100}>a.$

содержится единственное целое число?

Решение:

 $log_2(x-100)-log_{\frac{1}{2}}\frac{|x-101|}{105-x}+log_2\frac{|x-103|(105-x)}{x-100}>a;$

 $log_2(x-100)+log_2\frac{|x-101|}{105-x}+log_2\frac{|x-103|(105-x)}{x-100}>a.$

Замечаем, что так как $\frac{|x-101|}{105-x}>0$, то $105-x>0$ и c учетом $\frac{|x-103|(105-x)}{x-100}>0$, замечаем, что и  $x-100>0.$

Поэтому совершаем равносильный переход:

 $log_2(x-100)+log_2|x-101|-log_2(105-x)+log_2|x-103|+log_2(105-x)-$

$-log_2(x-100)>a;$

 $log_2|x-101|+log_2|x-103|>a,$ при условии $100<x<105;$

$|x-101||x-103|>2^a,$ при условии $100<x<105$  (*)

На промежутке $(100;105)$ четыре целых значения $x$ – это $101;102;103;104.$

При $x=101$ и при $x=103$  $2^a<0,$ что невозможно. $x=101,x=103$  не являются решениями неравенства.

Для того, чтобы $x=102$ являлся бы корнем  (*), необходимо и достаточно –  $2^a<1,$ то есть  $a<0.$

Для того, чтобы $x=104$ являлся бы корнем  (*), необходимо и достаточно –   $2^a<3,$ то есть  $a<log_23.$

Видно, что только при $a\in [0;log_23)$  (*), а значит и исходное неравенство, имеет единственное целое решение.

Ответ: $[0;log_23)$