Задание №18 Т/Р №212 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра , при каждом  из которых система

имеет ровно два решения?

Решение:

Рассмотрим первую строку системы:

или

Вторая строка системы – семейство парабол с вершиной в точке (при парабола вырождается в прямую ).

Исходную систему можно рассматривать как совокупность двух систем:

1) При система (*) имеет два различных решения решения.

Действительно, для при

Потому в случае остается потребовать, чтобы вторая система (**) не имела бы решений, либо имела бы одно решение, совпадающее с одним из решений предыдущей системы (*). Первое невозможно, второе достигается при (действительно, при из (*) выходит, что  , откуда уже ).

2) При исходная система имеет ровно два решения и

3) Пусть .

Если то система (*) не имеет решений ( для ). Система же  (**) не может иметь двух решений. Случай неинтересен.

Если то система (*) имеет два решения.

Потому остается потребовать, чтобы вторая система (**) не имела бы решений, либо имела бы одно решение, совпадающее с одним из решений предыдущей системы (*).

Первое невозможно, второе также невозможно при  , так как в этом случае (при выходит, что ).

Итак, исходная система имеет ровно два решения при {}.

Ответ: .