Задание №18 Т/Р №212 А. Ларина

2017-11-21

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра a, при каждом  из которых система

 \begin{cases} x^2+xy-4x-2y+4=0,& &ax^2-y=4;& \end{cases}

имеет ровно два решения?

Решение:

 \begin{cases} x^2+xy-4x-2y+4=0,& &ax^2-y=4;& \end{cases}

Рассмотрим первую строку системы:

(x^2-4x+4)+(xy-2y)=0;

(x-2)^2+y(x-2)=0;

(x-2)(x-2+y)=0;

x=2 или y=2-x.

Вторая строка системы – семейство парабол y=ax^2-4 с вершиной в точке (0;-4) (при a=0 парабола вырождается в прямую y=-4).

Исходную систему можно рассматривать как совокупность двух систем:

&\left[\begin{gathered} \begin{cases} y=2-x,& &ax^2-y=4;& (*) \end{cases}& \begin{cases} x=2,& &ax^2-y=4;& (**) \end{cases} \end{gathered}\right&

1) При a>0 система (*) имеет два различных решения решения.

Действительно, D=1+24a>0 для ax^2+x-6=0 при a>0.

Потому в случае a>0 остается потребовать, чтобы вторая система (**) не имела бы решений, либо имела бы одно решение, совпадающее с одним из решений предыдущей системы (*). Первое невозможно, второе достигается при a=1 (действительно, при x=2 из (*) выходит, что  y=2, откуда уже a=1).

2) При a=0 исходная система имеет ровно два решения 2 и 6.

3) Пусть a<0.

Если a<-\frac{1}{24}, то система (*) не имеет решений (D=1+24a<0 для ax^2+x-6=0). Система же  (**) не может иметь двух решений. Случай неинтересен.

Если -\frac{1}{24}<a<0, то система (*) имеет два решения.

Потому остается потребовать, чтобы вторая система (**) не имела бы решений, либо имела бы одно решение, совпадающее с одним из решений предыдущей системы (*).

Первое невозможно, второе также невозможно при  -\frac{1}{24}<a<0, так как в этом случае (при x=2, y=2 выходит, что a=1).

Итак, исходная система имеет ровно два решения при a\in {-\frac{1}{24};0;1}.

Ответ: -\frac{1}{24};0;1.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

20 − восемь =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif