Задание №18 Т/Р №212 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом  из которых система

 $\begin{cases}
x^2+xy-4x-2y+4=0,\\
ax^2-y=4;&
\end{cases}$

имеет ровно два решения?

Решение:

 $\begin{cases}
x^2+xy-4x-2y+4=0,\\
ax^2-y=4;&
\end{cases}$

Рассмотрим первую строку системы:

$(x^2-4x+4)+(xy-2y)=0;$

$(x-2)^2+y(x-2)=0;$

$(x-2)(x-2+y)=0;$

$x=2$ или $y=2-x.$

Вторая строка системы – семейство парабол $y=ax^2-4$ с вершиной в точке $(0;-4)$ (при $a=0$ парабола вырождается в прямую $y=-4$).

Исходную систему можно рассматривать как совокупность двух систем:

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}y=2-x,\\ax^2-y=4;\end{cases}\\\begin{cases}x=2,\\ax^2-y=4;&\end{cases}\end{array}\right.$

1) При $a>0$ система (*) имеет два различных решения решения.

Действительно, $D=1+24a>0$ для $ax^2+x-6=0$ при $a>0.$

Потому в случае $a>0$ остается потребовать, чтобы вторая система (**) не имела бы решений, либо имела бы одно решение, совпадающее с одним из решений предыдущей системы (*). Первое невозможно, второе достигается при $a=1$ (действительно, при $x=2$ из (*) выходит, что  $y=2$, откуда уже $a=1$).

2) При $a=0$ исходная система имеет ровно два решения $2$ и $6.$

3) Пусть $a<0$.

Если $a<-\frac{1}{24},$ то система (*) не имеет решений ($D=1+24a<0$ для $ax^2+x-6=0$). Система же  (**) не может иметь двух решений. Случай неинтересен.

Если $-\frac{1}{24}<a<0,$ то система (*) имеет два решения.

Потому остается потребовать, чтобы вторая система (**) не имела бы решений, либо имела бы одно решение, совпадающее с одним из решений предыдущей системы (*).

Первое невозможно, второе также невозможно при  $-\frac{1}{24}<a<0$, так как в этом случае (при $x=2,$ $y=2$ выходит, что $a=1$).

Итак, исходная система имеет ровно два решения при $a\in $ {$-\frac{1}{24};0;1$}.

Ответ: $-\frac{1}{24};0;1$.