Задание №18 Т/Р №213 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом  из которых уравнение

 $3\cdot 2^{x+1}+\frac{3}{2^{x-1}}+a(18-x^2)=6(a^2+2)$

имеет ровно одно решение?

Решение:

 $3\cdot 2^{x+1}+\frac{3}{2^{x-1}}+a(18-x^2)=6(a^2+2);$

$6\cdot 2^{x}+\frac{6}{2^{x}}+a(18-x^2)=6(a^2+2);$

Замечаем, что если $x_0$ – решение уравнения, то и $-x_0$ – решение уравнения.

Поэтому для единственности решения необходимо потребовать, чтобы $x_0=0.$

Тогда

$6\cdot 2^{0}+\frac{6}{2^{0}}+18a=6(a^2+2);$

$6a^2-18a=0;$

$a=0$ или $a=3.$

Проверим, не будет ли при $a=0$ еще и других корней помимо $x=0:$

$6\cdot 2^{x}+\frac{6}{2^{x}}=12;$

$2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=2$   (*)

Поскольку сумма $2^{x}+\frac{1}{2^{x}}\geq 2$ (действительно, $\frac{(2^x)^2-2\cdot 2^x+1}{2^x}=\frac{(2^x-1)^2}{2^x}\geq 0)$, при этом $2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=2$ при $x=0$), то равенство (*) верно только в случае $x=0.$

Проверим, не будет ли при $a=3$ еще и других корней помимо $x=0:$

$6\cdot 2^{x}+\frac{6}{2^{x}}+3(18-x^2)=66;$

$6\cdot 2^{x}+\frac{6}{2^{x}}=12+3x^2$   (**)

Замечаем, что как минимум, еще и $x=\pm 1$ являются решениями последнего уравнения (**) помимо $x=0.$

Итак, исходное уравнение имеет единственное решение только при $a=0.$

Ответ: $0.$