Задание №18 Т/Р №213 А. Ларина

2017-11-30

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра a, при каждом  из которых уравнение

 3\cdot 2^{x+1}+\frac{3}{2^{x-1}}+a(18-x^2)=6(a^2+2)

имеет ровно одно решение?

Решение:

 3\cdot 2^{x+1}+\frac{3}{2^{x-1}}+a(18-x^2)=6(a^2+2);

6\cdot 2^{x}+\frac{6}{2^{x}}+a(18-x^2)=6(a^2+2);

Замечаем, что если x_0 – решение уравнения, то и -x_0 – решение уравнения.

Поэтому для единственности решения необходимо потребовать, чтобы x_0=0.

Тогда

6\cdot 2^{0}+\frac{6}{2^{0}}+18a=6(a^2+2);

6a^2-18a=0;

a=0 или a=3.

Проверим, не будет ли при a=0 еще и других корней помимо x=0:

6\cdot 2^{x}+\frac{6}{2^{x}}=12;

2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=2   (*)

Поскольку сумма 2^{x}+\frac{1}{2^{x}}\geq 2 (действительно, \frac{(2^x)^2-2\cdot 2^x+1}{2^x}=\frac{(2^x-1)^2}{2^x}\geq 0), при этом 2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=2 при x=0), то равенство (*) верно только в случае x=0.

Проверим, не будет ли при a=3 еще и других корней помимо x=0:

6\cdot 2^{x}+\frac{6}{2^{x}}+3(18-x^2)=66;

6\cdot 2^{x}+\frac{6}{2^{x}}=12+3x^2   (**)

Замечаем, что как минимум, еще и x=\pm 1 являются решениями последнего уравнения (**) помимо x=0.

Итак, исходное уравнение имеет единственное решение только при a=0.

Ответ: 0.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

пять × пять =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif