Задание №18 Т/Р №99 А. Ларина

2023-07-11

Смотрите также №15 №16№17№19№20
Точка $E$ – середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$, прямые $BE$ и $AC$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COE$ равны.
б) Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если $AB=3$, $BC=4$.

Решение:

a) Очевидно, что $S_{ABE}=S_{ACE}$ (у треугольников равны высоты, проведенные к общей стороне $AE$).jghj,

Вычитая из равных площадей  $S_{ABE}$ и $S_{ACE}$ площадь треугольника $AOE$, приходим к тому, что и $S_{AOB}=S_{COE}.$

б) Пусть $OE=x$.

Тогда из прямоугольного треугольника $AOE$, учитывая, что $AE=2$, имеем:

$AO=\sqrt{AE^2-OE^2}=\sqrt{4-x^2}.$

щш

Из прямоугольного треугольника $ABO$, учитывая, что $AB=3$ и $AO=\sqrt{4-x^2}$, имеем:

$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{x^2+5}.$

Из подобия треугольников $BOC$ и $EOA$ (по первому признаку) с коэффициентом подобия $2$, имеем:

$\frac{OB}{OE}=2$

то есть

$\frac{\sqrt{x^2+5}}{x}=2$

откуда

$\frac{x^2+5}{x^2}=4;$

$x=\sqrt{\frac{5}{3}}.$

Далее, $BE=BO+OE=3\sqrt{\frac{5}{3}}.$

Из треугольника $ABE$ по теореме косинусов:

$BE^2=AB^2+AE^2-2AB\cdot AE\cdot cosA;$

$15=9+4-2\cdot 3\cdot 2\cdot cosA;$

$cosA=-\frac{1}{6};$

Тогда $sinA=\sqrt{1-cos^2A}=\frac{\sqrt{35}}{6}.$

Наконец, $S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot sinA=2\sqrt{35}.$

Ответ: $2\sqrt{35}.$

Печать страницы
комментариев 8
  1. Елена

    Елена, опечатка: ВО = корень из х^2+5. И ОЕ:ОВ=1:2. И х=…
    Спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Елена, спасибо большое!!! Праздники, видимо, сказались… ;)

      [ Ответить ]
  2. Кристина

    Елена Юрьевна, а разобранных задач 98 варианта из второй части на сайте нет?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Кристина, к сожалению нет… Новый год был… то да се… А потом и забыла про него…

      [ Ответить ]
  3. Кристина

    Елена Юрьевна, в В-16 варианта 98 можно доказать параллельность через построение плоскости параллельной основанию и проходящей через линию пересечения плоскостей, а затем применить теорему? В-16 даётся мне с трудом, а разобраться хочется.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Я бы доказывала так.
      Очевидно, [latexpage]$AB\parallel(PCD).$
      А поскольку прямая $l$ (линия пересечения двух указанных плоскостей) лежит с $AB$ в одной плоскости, то $l$ и $AB$ могут либо пересек., либо быть параллельными. В случае пересечения получаем, что $AB$ имеет общую точку с $(PCD).$ Противоречие.
      Итак, $l\parallel AB$, то есть $l\parallel (ABC).$

      [ Ответить ]
      • Кристина

        Елена Юрьевна,спасибо за помощь!))

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Кристина, легкости с №-ми 16! И не только… Удачи!

          [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




15 − семь =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif