Задание №18 Т/Р №99 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15 №16№17№19№20.
Точка E – середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и AC взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площади треугольников AOB и COE равны.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB=3, BC=4.

Решение:

a) Очевидно, что S_{ABE}=S_{ACE} (у треугольников равны высоты, проведенные к общей стороне AE).

Вычитая из равных площадей  S_{ABE} и S_{ACE} площадь треугольника AOE, приходим к тому, что и S_{AOB}=S_{COE}.

б) Пусть OE=x.

Тогда из прямоугольного треугольника AOE, учитывая, что AE=2, имеем:

AO=\sqrt{AE^2-OE^2}=\sqrt{4-x^2}.

Из прямоугольного треугольника ABO, учитывая, что AB=3 и AO=\sqrt{4-x^2}, имеем:

BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{x^2+5}.

Из подобия треугольников BOC и EOA (по первому признаку) с коэффициентом подобия 2, имеем:

\frac{OB}{OE}=2

то есть

\frac{\sqrt{x^2+5}}{x}=2

откуда

\frac{x^2+5}{x^2}=4;

x=\sqrt{\frac{5}{3}}.

Далее, BE=BO+OE=3\sqrt{\frac{5}{3}}.

Из треугольника ABE по теореме косинусов:

BE^2=AB^2+AE^2-2AB\cdot AE\cdot cosA;

15=9+4-2\cdot 3\cdot 2\cdot cosA;

cosA=-\frac{1}{6};

Тогда sinA=\sqrt{1-cos^2A}=\frac{\sqrt{35}}{6}.

Наконец, S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot sinA=2\sqrt{35}.

Ответ: 2\sqrt{35}.

Печать страницы
Комментариев: 8
  1. Елена

    Елена, опечатка: ВО = корень из х^2+5. И ОЕ:ОВ=1:2. И х=…
    Спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Елена, спасибо большое!!! Праздники, видимо, сказались… ;)

      [ Ответить ]
  2. Кристина

    Елена Юрьевна, а разобранных задач 98 варианта из второй части на сайте нет?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Кристина, к сожалению нет… Новый год был… то да се… А потом и забыла про него…

      [ Ответить ]
  3. Кристина

    Елена Юрьевна, в В-16 варианта 98 можно доказать параллельность через построение плоскости параллельной основанию и проходящей через линию пересечения плоскостей, а затем применить теорему? В-16 даётся мне с трудом, а разобраться хочется.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Я бы доказывала так.
      Очевидно, AB\parallel(PCD).
      А поскольку прямая l (линия пересечения двух указанных плоскостей) лежит с AB в одной плоскости, то l и AB могут либо пересек., либо быть параллельными. В случае пересечения получаем, что AB имеет общую точку с (PCD). Противоречие.
      Итак, l\parallel AB, то есть l\parallel (ABC).

      [ Ответить ]
      • Кристина

        Елена Юрьевна,спасибо за помощь!))

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Кристина, легкости с №-ми 16! И не только… Удачи!

          [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif