Задание №18 Т/Р №99 А. Ларина

Смотрите также №15,  №16, №17, №19, №20
Точка $E$ – середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$, прямые $BE$ и $AC$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COE$ равны.
б) Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если $AB=3$, $BC=4$.

Решение:

a) Очевидно, что $S_{ABE}=S_{ACE}$ (у треугольников равны высоты, проведенные к общей стороне $AE$).

Вычитая из равных площадей  $S_{ABE}$ и $S_{ACE}$ площадь треугольника $AOE$, приходим к тому, что и $S_{AOB}=S_{COE}.$

б) Пусть $OE=x$.

Тогда из прямоугольного треугольника $AOE$, учитывая, что $AE=2$, имеем:

$AO=\sqrt{AE^2-OE^2}=\sqrt{4-x^2}.$

Из прямоугольного треугольника $ABO$, учитывая, что $AB=3$ и $AO=\sqrt{4-x^2}$, имеем:

$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{x^2+5}.$

Из подобия треугольников $BOC$ и $EOA$ (по первому признаку) с коэффициентом подобия $2$, имеем:

$\frac{OB}{OE}=2$

то есть

$\frac{\sqrt{x^2+5}}{x}=2$

откуда

$\frac{x^2+5}{x^2}=4;$

$x=\sqrt{\frac{5}{3}}.$

Далее, $BE=BO+OE=3\sqrt{\frac{5}{3}}.$

Из треугольника $ABE$ по теореме косинусов:

$BE^2=AB^2+AE^2-2AB\cdot AE\cdot cosA;$

$15=9+4-2\cdot 3\cdot 2\cdot cosA;$

$cosA=-\frac{1}{6};$

Тогда $sinA=\sqrt{1-cos^2A}=\frac{\sqrt{35}}{6}.$

Наконец, $S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot sinA=2\sqrt{35}.$

Ответ: $2\sqrt{35}.$