Задание №18 Т/Р №161 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17 Тренировочной работы №162 А. Ларина

18. Найдите все значния параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\large\frac{2a^2-(x+3)a-x^2+3x}{x^2-9}=0$

имеет ровно один корень.

Решение:

Исходное равнение равносильно системе:

$\begin{cases}2a^2-(x+3)a-x^2+3x=0,\\x\neq \pm 3;&\end{cases}$

Рассматриваем первую строку системы как квадратное уравнение относительно $a.$

$\begin{cases}a=\frac{x+3\pm \sqrt{(x+3)^2+8(x^2-3x)}}{4},\\x\neq \pm 3;&\end{cases}$

$\begin{cases}a=\frac{x+3\pm \sqrt{(3x-3)^2}}{4},\\x\neq \pm 3;&\end{cases}$

$\begin{cases}a=\frac{x+3\pm |3x-3|}{4},\\x\neq \pm 3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}a=\frac{x+3+(3x-3)}{4},\\a=\frac{x+3-(3x-3)}{4};\end{array}\right.\\x\neq \pm 3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}a=x,\\a=\frac{3-x}{2};\end{array}\right.\\x\neq \pm 3;&\end{cases}$

Решаем систему графически в системе координат $(x;a).$

Первая строка системы задает две пересекающиеся прямые (в точке $(1;1)$) с парой выколотых точек (см. рис.).

Очевидно, система (а значит, и исходное уравнение) имеет единственное решение при $a\in ${$-3;0;1$}.

Ответ: {$-3;0;1$}.