Задание №18 Т/Р №162 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина 

18. Найдите все значния параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$2\cdot (|x-2|+|x|)^2-3(a-2)\cdot (|2-x|+|x|)+a^2-3a=0$

имеет не менее трех различных корней.

Решение:

Рассматривая исходное уравнение как квадратное относительно $|x-2|+|x|$ (заметив при этом, что $|x-2|=|2-x|$), получаем:

$|x-2|+|x|=\frac{3(a-2)\pm \sqrt{9(a-2)^2-8a^2+24a}}{4};$

$|x-2|+|x|=\frac{3(a-2)\pm \sqrt{a^2-12a+36}}{4};$

$|x-2|+|x|=\frac{3(a-2)\pm \sqrt{(a-6)^2}}{4};$

$|x-2|+|x|=\frac{3(a-2)\pm |a-6|}{4};$

$\left[\begin{array}{rcl}|x-2|+|x|=\frac{3a-6+a-6}{4},\\|x-2|+|x|=\frac{3a-6-a+6}{4};\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}|x-2|+|x|=\frac{3a-6+a-6}{4},\\|x-2|+|x|=\frac{3a-6-a+6}{4};\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}|x-2|+|x|=a-3,\\|x-2|+|x|=\frac{a}{2};\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}a=|x-2|+|x|+3,\\a=2|x-2|+2|x|;\end{array}\right.$

Будем решать данную совокупность графически в системе координат $(x;a).$ Перед нами объединение так называемых “корыт.”

Нули подмодульных выражений $0$ и $2$ разбивают числовую ось $x$ на три промежутка $((-\infty;0),[0;2],(2;+\infty))$, на каждом из которых каждое подмодульное выражение имеет свой знак. Потому рассматриваем три случая, компактно записывая совокупность трех систем:

Случай 1:

$\begin{cases}x <0,\\\left[\begin{array}{rcl}a=-2x+5,\\a=-4x+4;\end{array}\right.\end{cases}$

Случай 2:

$\begin{cases}0\leq x\leq 2,\\\left[\begin{array}{rcl}a=5,\\a=4;\end{array}\right.\end{cases}$

Случай 3:

$\begin{cases}x> 2,\\\left[\begin{array}{rcl}a=2x+1,\\a=4x-4;\end{array}\right.\end{cases}$

Становится видно, что при $a\in ${$4$}$\cup [5;6)\cup (6;+\infty)$ исходное уравнение имеет более трех различных решений.

Ответ: {$4$}$\cup [5;6)\cup (6;+\infty).$