Задание №18 Т/Р №162 А. Ларина

Елена Репина 2016-09-15 2016-10-13

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина

18. Найдите все значния параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$2\cdot (|x-2|+|x|)^2-3(a-2)\cdot (|2-x|+|x|)+a^2-3a=0$

имеет не менее трех различных корней.

Решение:

Рассматривая исходное уравнение как квадратное относительно $|x-2|+|x|$ (заметив при этом, что $|x-2|=|2-x|$ ), получаем:

$|x-2|+|x|=\frac{3(a-2)\pm \sqrt{9(a-2)^2-8a^2+24a}}{4};$

$|x-2|+|x|=\frac{3(a-2)\pm \sqrt{a^2-12a+36}}{4};$

$|x-2|+|x|=\frac{3(a-2)\pm \sqrt{(a-6)^2}}{4};$

$|x-2|+|x|=\frac{3(a-2)\pm |a-6|}{4};$

$\left[\begin{gathered} |x-2|+|x|=\frac{3a-6+a-6}{4},& |x-2|+|x|=\frac{3a-6-a+6}{4};& \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered} |x-2|+|x|=a-3,& |x-2|+|x|=\frac{a}{2};& \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered} a=|x-2|+|x|+3,& a=2|x-2|+2|x|;& \end{gathered}\right&$

Будем решать данную совокупность графически в системе координат $(x;a).$ Перед нами объединение так называемых “корыт.”

Нули подмодульных выражений $0$ и $2$ разбивают числовую ось $x$ на три промежутка $((-\infty;0),[0;2],(2;+\infty))$ , на каждом из которых каждое подмодульное выражение имеет свой знак. Потому рассматриваем три случая, компактно записывая совокупность трех систем:

$\left[\begin{gathered} \begin{cases} x <0; & &\left[\begin{gathered} a=-x+2-x+3,& a=-2x+4-2x;& \end{gathered}\right& \end{cases} &\begin{cases} 0\leq x\leq 2; & &\left[\begin{gathered} a=-x+2+x+3,& a=-2x+4+2x;& \end{gathered}\right& \end{cases} &\begin{cases} x> 2; & &\left[\begin{gathered} a=x-2+x+3,& a=2x-4+2x;& \end{gathered}\right& \end{cases} \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered} \begin{cases} x <0; & &\left[\begin{gathered} a=-2x+5,& a=-4x+4;& \end{gathered}\right& \end{cases} &\begin{cases} 0\leq x\leq 2; & &\left[\begin{gathered} a=5,& a=4;& \end{gathered}\right& \end{cases} &\begin{cases} x> 2; & &\left[\begin{gathered} a=2x+1,& a=4x-4;& \end{gathered}\right& \end{cases} \end{gathered}\right&$