Задание №18 Т/Р №162 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13№14№15№16№17; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина 

18. Найдите все значния параметра a, при каждом из которых уравнение

2\cdot (|x-2|+|x|)^2-3(a-2)\cdot (|2-x|+|x|)+a^2-3a=0

имеет не менее трех различных корней.

Решение:

Рассматривая исходное уравнение как квадратное относительно |x-2|+|x| (заметив при этом, что |x-2|=|2-x|), получаем:

|x-2|+|x|=\frac{3(a-2)\pm \sqrt{9(a-2)^2-8a^2+24a}}{4};

|x-2|+|x|=\frac{3(a-2)\pm \sqrt{a^2-12a+36}}{4};

|x-2|+|x|=\frac{3(a-2)\pm \sqrt{(a-6)^2}}{4};

|x-2|+|x|=\frac{3(a-2)\pm |a-6|}{4};

\left[\begin{gathered} |x-2|+|x|=\frac{3a-6+a-6}{4},& |x-2|+|x|=\frac{3a-6-a+6}{4};& \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} |x-2|+|x|=a-3,& |x-2|+|x|=\frac{a}{2};& \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} a=|x-2|+|x|+3,& a=2|x-2|+2|x|;& \end{gathered}\right&

Будем решать данную совокупность графически в системе координат (x;a). Перед нами объединение так называемых “корыт.”

Нули подмодульных выражений 0 и 2 разбивают числовую ось x на три промежутка ((-\infty;0),[0;2],(2;+\infty)), на каждом из которых каждое подмодульное выражение имеет свой знак. Потому рассматриваем три случая, компактно записывая совокупность трех систем:

\left[\begin{gathered} \begin{cases}   x <0; & &\left[\begin{gathered} a=-x+2-x+3,& a=-2x+4-2x;& \end{gathered}\right& \end{cases} &\begin{cases}  0\leq x\leq 2; & &\left[\begin{gathered} a=-x+2+x+3,& a=-2x+4+2x;& \end{gathered}\right& \end{cases} &\begin{cases}   x> 2; & &\left[\begin{gathered} a=x-2+x+3,& a=2x-4+2x;& \end{gathered}\right& \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases}   x <0; & &\left[\begin{gathered} a=-2x+5,& a=-4x+4;& \end{gathered}\right& \end{cases} &\begin{cases}  0\leq x\leq 2; & &\left[\begin{gathered} a=5,& a=4;& \end{gathered}\right& \end{cases} &\begin{cases}   x> 2; & &\left[\begin{gathered} a=2x+1,& a=4x-4;& \end{gathered}\right& \end{cases} \end{gathered}\right&

Становится видно, что при a\in{4}\cup [5;6)\cup (6;+\infty) исходное уравнение имеет более трех различных решений.

Ответ: {4}\cup [5;6)\cup (6;+\infty).

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif