Главная › 18 (С7) Числа, их свойства › Задание №19. Досрочная волна 2018. Резервный день

02 Май 2018

Категория: 18 (С7) Числа, их свойства

Задание №19. Досрочная волна 2018. Резервный день

Елена Репина 2018-05-02 2018-05-03

Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15; №16; №17; №18

19. а) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что

$|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{100}?$

б) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что

$|\frac{m^2}{n^2}-2|\leq \frac{1}{10000}?$

в) Найдите все возможные значения натурального числа $n,$ при каждом из которых значение выражения $|\frac{n+10}{n}-\sqrt2|$ будет наименьшим.

Решение:

a)

$|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{100};$

$-\frac{1}{100}\leq \frac{m}{n}-\sqrt{2}\leq \frac{1}{100};$

$\sqrt{2}-\frac{1}{100}\leq \frac{m}{n}\leq \sqrt{2}+\frac{1}{100};$

Так как $1,41<\sqrt2<1,42,$ то

$1,4<\sqrt{2}-\frac{1}{100}\leq \frac{m}{n}\leq \sqrt{2}+\frac{1}{100}<1,43;$

$\frac{m}{1,43}<n<\frac{m}{1,4};$

Пусть, например, $m=95,$ тогда $66<n<68,$ то есть $n=67.$

б) Допустим, существуют двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что $|\frac{m^2}{n^2}-2|\leq \frac{1}{10000}.$

Тогда

$2-\frac{1}{10000}\leq \frac{m^2}{n^2}\leq 2+\frac{1}{10000};$

$\frac{m^2}{n^2}-\frac{1}{10000}\leq 2\leq \frac{m^2}{n^2}+\frac{1}{10000};$

Согласно условию $n<100,$ поэтому

$\frac{m^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}\leq 2\leq \frac{m^2}{n^2}+\frac{1}{n^2};$

$\frac{m^2-1}{n^2}\leq 2\leq \frac{m^2+1}{n^2};$

$m^2-1\leq 2n^2\leq m^2+1;$

$2n^2=m^2.$

Для натуральных чисел последнее равенство невозможно. Пришли к противоречию.

в) $|\frac{n+10}{n}-\sqrt2|=|1+\frac{10}{n}-\sqrt2.|$

$1,4<\sqrt2<1,42;$

$1-1,42<1-\sqrt2<1-1,4;$

$-0,42<1-\sqrt2<-0,4;$

$\frac{10}{n}-0,42<\frac{10}{n}+1-\sqrt2<-0,4+\frac{10}{n};$

Так как $\frac{10}{n}-0,42<0,$ то $n>23.$ Так как $-0,4+\frac{10}{n}>0,$ то $n<25.$

При $n=24$ значение выражения $|\frac{n+10}{n}-\sqrt2|$ будет наименьшим.

Ответ: а) $95$ и $67$ ; б) нет; в) $24.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (28)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы