Задание №19. Досрочная волна 2018. Резервный день

Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15; №16; №17; №18 

19. а) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что

$|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{100}?$

б) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что

$|\frac{m^2}{n^2}-2|\leq \frac{1}{10000}?$

в) Найдите все возможные значения натурального числа $n,$ при каждом из которых значение выражения $|\frac{n+10}{n}-\sqrt2|$ будет наименьшим.

Решение:

a) 

$|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{100};$

$-\frac{1}{100}\leq \frac{m}{n}-\sqrt{2}\leq \frac{1}{100};$

$\sqrt{2}-\frac{1}{100}\leq \frac{m}{n}\leq \sqrt{2}+\frac{1}{100};$

Так как $1,41<\sqrt2<1,42,$ то

$1,4<\sqrt{2}-\frac{1}{100}\leq \frac{m}{n}\leq \sqrt{2}+\frac{1}{100}<1,43;$

$\frac{m}{1,43}<n<\frac{m}{1,4};$

Пусть, например, $m=95,$ тогда $66<n<68,$ то есть $n=67.$

б) Допустим, существуют двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что $|\frac{m^2}{n^2}-2|\leq \frac{1}{10000}.$

Тогда

$2-\frac{1}{10000}\leq \frac{m^2}{n^2}\leq 2+\frac{1}{10000};$

$\frac{m^2}{n^2}-\frac{1}{10000}\leq 2\leq \frac{m^2}{n^2}+\frac{1}{10000};$

Согласно условию $n<100,$ поэтому

$\frac{m^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}\leq 2\leq \frac{m^2}{n^2}+\frac{1}{n^2};$

$\frac{m^2-1}{n^2}\leq 2\leq \frac{m^2+1}{n^2};$

$m^2-1\leq 2n^2\leq m^2+1;$

$2n^2=m^2.$

Для натуральных чисел последнее равенство невозможно. Пришли к противоречию.

в) $|\frac{n+10}{n}-\sqrt2|=|1+\frac{10}{n}-\sqrt2.|$

$1,4<\sqrt2<1,42;$

$1-1,42<1-\sqrt2<1-1,4;$

$-0,42<1-\sqrt2<-0,4;$

$\frac{10}{n}-0,42<\frac{10}{n}+1-\sqrt2<-0,4+\frac{10}{n};$

Так как $\frac{10}{n}-0,42<0,$  то $n>23.$ Так как $-0,4+\frac{10}{n}>0,$ то $n<25.$

При $n=24$ значение выражения $|\frac{n+10}{n}-\sqrt2|$ будет наименьшим.

Ответ: а) $95$ и $67$; б) нет; в) $24.$