Задание №19. Досрочная волна 2018. Резервный день

2018-05-03
Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15№16; №17№18 

19. а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что

|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{100}?

б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что

|\frac{m^2}{n^2}-2|\leq \frac{1}{10000}?

в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |\frac{n+10}{n}-\sqrt2| будет наименьшим.

Решение:

a) 

|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{100};

-\frac{1}{100}\leq \frac{m}{n}-\sqrt{2}\leq \frac{1}{100};

\sqrt{2}-\frac{1}{100}\leq \frac{m}{n}\leq \sqrt{2}+\frac{1}{100};

Так как 1,41<\sqrt2<1,42, то

1,4<\sqrt{2}-\frac{1}{100}\leq \frac{m}{n}\leq \sqrt{2}+\frac{1}{100}<1,43;

\frac{m}{1,43}<n<\frac{m}{1,4};

Пусть, например, m=95, тогда 66<n<68, то есть n=67.

б) Допустим, существуют двузначные натуральные числа m и n такие, что |\frac{m^2}{n^2}-2|\leq \frac{1}{10000}.

Тогда

2-\frac{1}{10000}\leq \frac{m^2}{n^2}\leq 2+\frac{1}{10000};

\frac{m^2}{n^2}-\frac{1}{10000}\leq 2\leq \frac{m^2}{n^2}+\frac{1}{10000};

Согласно условию n<100, поэтому

\frac{m^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}\leq 2\leq \frac{m^2}{n^2}+\frac{1}{n^2};

\frac{m^2-1}{n^2}\leq 2\leq \frac{m^2+1}{n^2};

m^2-1\leq 2n^2\leq m^2+1;

2n^2=m^2.

Для натуральных чисел последнее равенство невозможно. Пришли к противоречию.

в) |\frac{n+10}{n}-\sqrt2|=|1+\frac{10}{n}-\sqrt2.|

1,4<\sqrt2<1,42;

1-1,42<1-\sqrt2<1-1,4;

-0,42<1-\sqrt2<-0,4;

\frac{10}{n}-0,42<\frac{10}{n}+1-\sqrt2<-0,4+\frac{10}{n};

Так как \frac{10}{n}-0,42<0,  то n>23. Так как -0,4+\frac{10}{n}>0, то n<25.

При n=24 значение выражения |\frac{n+10}{n}-\sqrt2| будет наименьшим.

Ответ: а) 95 и 67; б) нет; в) 24.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

4 × 4 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif