Задание №19. Досрочный ЕГЭ 2018

2018-05-08

Смотрите также задания №1-12№13; №14; №15№16; №17№18

19. На доске написано n чисел a_i (i = 1, 2, ..., n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на r_i%. При этом либо r_i = 2%, либо число a_i уменьшается на 2, то есть становится равным a_i - 2. (Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то — на 2 процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел r_1, r_2, ..., r_n быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r_1, r_2, ..., r_n больше 2, при этом сумма чисел a_1, a_2 ... a_n уменьшилась более чем на 2n?
в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r_1, r_2, ..., r_n.

Решение:

а) r_i =2% или r_i=\frac{200}{a_i}. Так как по условию a_i\geq 50, то \frac{200}{a_i}\leq 4%. Значит среднее арифметическое чисел r_1, r_2, ..., r_n не больше 4, то есть не может быть равным 5.

б) Могло так получиться, что среднее арифметическое чисел r_1,r_2, ..., r_n больше 2, при этом сумма чисел a_1, a_2 ... a_n уменьшилась более чем на 2n.

Например,

a_1=50  уменьшаем на 2 (то есть на 4%) и заменяем на 48,

а  a_2=150 уменьшаем на 2% и заменяем на 147.

При этом \frac{r_1+r_2}{2}=3, а сумма чисел a_1,a_2 уменьшилась на 5.

в) Пусть k первых чисел ряда a_1;a_2;...;a_{30} уменьшились на 2 и оставшиеся 30-k – на 2%.

\frac{r_1+r_2+...+r_{30}}{30}=\frac{\frac{200}{a_1}+\frac{200}{a_2}+...+\frac{200}{a_k}+2(30-k)}{30}\leq \frac{4k+2(30-k)}{30}=\frac{k+30}{15}  (*)

Cумма чисел уменьшилась на 40:

2k+\frac{2a_{k+1}}{100}+\frac{2a_{k+12}}{100}+...+\frac{2a_{30}}{100}=40.

Так как a_i\geq 50, то поскольку 2% от a_i  есть \frac{2a_i}{100}, то \frac{2a_i}{100}\geq 1.

40=2k+\frac{2a_{k+1}}{100}+\frac{2a_{k+12}}{100}+...+\frac{2a_{30}}{100}\geq 2k+30-k;

k\leq 10.

Тогда, возвращаясь в (*), получаем:

\frac{r_1+r_2+...+r_{30}}{30}\leq \frac{10+30}{15}=\frac{8}{3}.

Среднее арифметического чисел r_1, r_2, ..., r_n равно \frac{8}{3} для набора, в котором все числа – 50 и первые 10 чисел уменьшают на 2, остальные 20 чисел уменьшают на 2%.

Ответ: а) нет; б) да; в) \frac{8}{3}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

3 × 1 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif