Задание №19 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

Смотрите также №15№16, №17№18, №20, №21.

Разбор задания №19 одного из вариантов

15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение:

Пусть в кредит взято x рублей.

1-го числа следующего месяца (февраль) долг составит

\frac{(100+r)}{100}x рублей.

Со 2-го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере

\frac{x}{14}+\frac{r}{100}x,

после чего сумма долга составит

\frac{(100+r)x}{100}-\frac{x}{14}-\frac{rx}{100},

то есть \frac{13x}{14}.

(При такой схеме долг на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца).

1-го марта долг составит

\frac{(100+r)}{100}\cdot \frac{13x}{14}.

Со 2-го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере

\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13x}{14},

после чего сумма долга составит

\frac{12x}{14}.

И так далее…

В итоге сумма выплат составит

(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot x)+(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13x}{14})+...+(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{x}{14}).

Перепишем полученную сумму так:

x+\frac{rx}{14\cdot 100}(14+13+...+1).

Посколько известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит, то составим уравнение:

x+\frac{rx}{14\cdot 100}(14+13+...+1)=1,15x;

\frac{r\cdot \frac{(14+1)\cdot 14}{2}}{1400}=0,15;

r=\frac{0,15\cdot 1400}{7\cdot 15};

r=2.

Ответ: 2.

Печать страницы
Комментариев: 53
  1. Елена

    упсс(:ну надо же так тупить((-я же прорешала кучу задач, в условии которых “платежи подбираются так,что сумма долга уменьшается равномерно”-а в этой задаче просто не поняла до конца условия(:-вот и не смогла решить((
    Спасибо,Елена Юрьевна,очень понятное,лаконичное решение задачи №19.С Вашей помощью и с этой задачкой разобралась!
    Искреннее СПАСИБО Вам!

    [ Ответить ]
    • Мария

      По вашим сведениям кто-нибудь решил задачу 19 про равные платежи? Не могу найти в интернете общие сведения об этом.

      [ Ответить ]
      • egeMax

        Мария, вы имеете ввиду статистику?

        [ Ответить ]
        • Мария

          Да. Хотелось бы знать, сколько % решили полностью эту задачу. Подробнее, наверное нет сведений, т.е. получили 1 балл за это задание.

          [ Ответить ]
          • egeMax

            Мария, не знаю…

            [ Ответить ]
  2. Елена

    Задача такая же, как от 5 марта диагностической работы СтатГрад (задача про Алексея, потом позже была задача про Жанну, Владимира-пробник Брянск).В нашей задаче немного завуалировали этот дифференцированный платеж. Просто надо зацепиться за словосочетание “долг должен быть на одну и ту же сумму меньше”. Обидно, что дети, которые весь год решали №19, в данной ситуации растерялись.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Елена, согласна с вами. Многие растерялись…

      [ Ответить ]
      • Pasha

        Скажите, пожалуйста, по каким пособиям к этой финансовой грамотности готовиться?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Паша, не располагаю информацией… Решайте пока все те задачи, что появлялись за прошлый год. Загляните на решуегэ…

          [ Ответить ]
  3. Ильяс

    Решите пожалуйста задачу:
    В ДВУХ ШАХТАХ ДОБЫВАЮТ АЛЮМИНИЙ И НИКЕЛЬ. В ПЕРВОЙ ШАХТЕ ИМЕЕТСЯ 100 РАБОЧИХ, КАЖДЫЙ ИЗ КОТОРЫХ ГОТОВ ТРУДИТЬСЯ 5 ЧАСОВ В ДЕНЬ. ПРИ ЭТОМ ОДИН РАБОЧИЙ ЗА ЧАС ДОБЫВАЕТ 1 КГ АЛЮМИНИЯ ИЛИ 3 КГ НИКЕЛЯ. ВО ВТОРОЙ ШАХТЕ ИМЕЕТСЯ 300 РАБОЧИХ, КАЖДЫЙ ИЗ КОТОРЫХ ГОТОВ ТРУДИТЬСЯ 5 ЧАСОВ В ДЕНЬ. ПРИ ЭТОМ ОДИН РАБОЧИЙ ЗА ЧАС ДОБЫВАЕТ 3 КГ АЛЮМИНИЯ ИЛИ 1 КГ НИКЕЛЯ. ОБЕ ШАХТЫ ПОСТАВЛЯЮТ ДОБЫТЫЙ МЕТАЛЛ НА ЗАВОД, ГДЕ ДЛЯ НУЖД ПРОМЫШЛЕННОСТИ ПРОИЗВОДИТСЯ СПЛАВ АЛЮМИНИЯ И НИКЕЛЯ, В КОТОРОМ НА 2 КГ АЛЮМИНИЯ ПРИХОДИТСЯ 1 КГ НИКЕЛЯ. ПРИ ЭТОМ ШАХТЫ ДОГОВАРИВАЮТСЯ МЕЖДУ СОБОЙ ВЕСТИ ДОБЫЧУ МЕТАЛЛОВ ТАК, ЧТОБЫ ЗАВОД МОГ ПРОИЗВЕСТИ НАИБОЛЬШЕЕ КОЛИЧЕСТВО СПЛАВА. СКОЛЬКО КГ СПЛАВА ПРИ ТАКИХ УСЛОВИЯХ ЕЖЕДНЕВНО СМОЖЕТ ПРОИЗВЕСТИ ЗАВОД?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ильяс, начните – помогу. Решать за вас не буду))

      [ Ответить ]
  4. Катя

    Елена Юрьевна, помогите пожалуйста решить задачу.
    В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.
    Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мы имеем по тысячи человекочасов в каждой области.
      Пусть в первой области x часов уходит на добычу Al. Тогда 1000-x часов уходит на добычу Ni.
      В первой области производится тогда 0,3x кг Al и 0,1(1000-x) кг Ni.
      Пусть во второй области y^2 часов уходит на добычу Al. Тогда 1000-y^2 часов уходит на добычу Ni.
      Во второй области производится тогда y кг Al и \sqrt{1000-y^2} кг Ni.
      Так как требуется брать Al к Ni как 2:1, то 0,3x+y=2(0,1(1000-x)+\sqrt{1000-y^2}).
      Откуда 0,5x=200+2\sqrt{1000-y^2}-y или x=400+4\sqrt{1000-y^2}-2y.
      Всего будет произведено 3(0,1(1000-x)+\sqrt{1000-y^2}) кг металла.
      Исследуйте f(y)=3(0,1(1000-(400+4\sqrt{1000-y^2}-2y))+\sqrt{1000-y^2} на наибольшее значение.

      [ Ответить ]
      • Юлия

        А можно поподробнее вот этот момент?
        Во второй области производится тогда y кг Al и \sqrt{1000-y^2} кг Ni.
        Так как требуется брать Al к Ni как 2:1, то 0,3x+y=2(0,1(1000-x)+\sqrt{1000-y^2}).

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Юлия, что именно не понятно?

          [ Ответить ]
      • Ксения

        Как получить выражение “всего произведено металла 3(0.1(1000-х)+√1000-y^2)”?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Так как требуется брать Al 2 части, а Ni одну, то можно считать, что всего металла произведено 3 части.

          [ Ответить ]
  5. Ильяс

    А вот ещё один вопрос: там ведь по условию задачи во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда. А у вас в первой области х? Обьясните пожалуйста.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да там хоть z пишите. Какая разница? Показана зависимость. Вот и все.

      [ Ответить ]
  6. Коля

    Елена Юрьевна, не пойму почему у^ кг. По условию у^2 человеко-часов труда.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Исправлено))

      [ Ответить ]
  7. Ильяс

    В ДВУХ ШАХТАХ ДОБЫВАЮТ АЛЮМИНИЙ И НИКЕЛЬ. В ПЕРВОЙ ШАХТЕ ИМЕЕТСЯ 100 РАБОЧИХ, КАЖДЫЙ ИЗ КОТОРЫХ ГОТОВ ТРУДИТЬСЯ 5 ЧАСОВ В ДЕНЬ. ПРИ ЭТОМ ОДИН РАБОЧИЙ ЗА ЧАС ДОБЫВАЕТ 1 КГ АЛЮМИНИЯ ИЛИ 3 КГ НИКЕЛЯ. ВО ВТОРОЙ ШАХТЕ ИМЕЕТСЯ 300 РАБОЧИХ, КАЖДЫЙ ИЗ КОТОРЫХ ГОТОВ ТРУДИТЬСЯ 5 ЧАСОВ В ДЕНЬ. ПРИ ЭТОМ ОДИН РАБОЧИЙ ЗА ЧАС ДОБЫВАЕТ 3 КГ АЛЮМИНИЯ ИЛИ 1 КГ НИКЕЛЯ. ОБЕ ШАХТЫ ПОСТАВЛЯЮТ ДОБЫТЫЙ МЕТАЛЛ НА ЗАВОД, ГДЕ ДЛЯ НУЖД ПРОМЫШЛЕННОСТИ ПРОИЗВОДИТСЯ СПЛАВ АЛЮМИНИЯ И НИКЕЛЯ, В КОТОРОМ НА 2 КГ АЛЮМИНИЯ ПРИХОДИТСЯ 1 КГ НИКЕЛЯ. ПРИ ЭТОМ ШАХТЫ ДОГОВАРИВАЮТСЯ МЕЖДУ СОБОЙ ВЕСТИ ДОБЫЧУ МЕТАЛЛОВ ТАК, ЧТОБЫ ЗАВОД МОГ ПРОИЗВЕСТИ НАИБОЛЬШЕЕ КОЛИЧЕСТВО СПЛАВА. СКОЛЬКО КГ СПЛАВА ПРИ ТАКИХ УСЛОВИЯХ ЕЖЕДНЕВНО СМОЖЕТ ПРОИЗВЕСТИ ЗАВОД?
    Решение: я взял в 1-ой шахте пусть у рабочих добывают никель, тогда 100-у рабочих добывают алюминий. Пусть во 2-ой шахте х рабочих добывают никель, тогда 300-х рабочих добывают алюминий.
    1/2=(15у+5х)/(5(100-у)+15(300-х)) из этого всего я получил х=200-1,4у.
    Затем 15у+5х+5(100-у)+15(300-х) , теперь подставляю и получилось 3000+24у. Это будет функция. У переменной у есть ограничение от 0 до 100. А дальше что?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      f(y)=3000+24y – линейная функция. Она возрастающая. На [0;100] наиб. значение, равное 5400, достигается при y=100.

      [ Ответить ]
  8. Ильяс

    До этого я сделал по другому и у меня в 1-ой шахте были задействованы все 100 рабочих, если же и в этой функцие брать 100 рабочих, то ответ совпадает, но я не понимаю?

    [ Ответить ]
  9. Ильяс

    Ну а если я возьму 99 или 98 и так далее я ведь могу взять и эти числа, тогда ответ не совпадёт

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Зачем брать 99 и 98?

      [ Ответить ]
  10. ЕГЭшник

    15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
    ‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 3r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    ‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
    ‐ 15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
    Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

    [ Ответить ]
  11. Алина

    А почему со 2ого по 14-е число мы платим x/14+ rx/100, а не просто x/14?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Так банк дает под проценты!

      [ Ответить ]
      • Алина

        Спасибо)

        [ Ответить ]
  12. Мария

    Не понимаю : почему го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере x/14 …. . Отууда это ? Посему так? Ведь можно выплатить и 1/3 часть или 1/34 и тд долга

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мария, в условии сказано:
      15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

      [ Ответить ]
  13. Мария

    И откуда R/100 *x…

    [ Ответить ]
    • egeMax

      r% от x – это \frac{rx}{100}.

      [ Ответить ]
  14. Ильяс

    Елена Юрьевна помогите решить пожалуйста задачу:
    Вклад  планируется  открыть  на  четыре  года. Первоначальный  вклад  составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад 
    увеличивается на 10% по сравнению 
    с его размером в начале года, а, кроме того, в начале третьего и четвертого годов  вклад  ежегодно  пополняется  на  3  млн  рублей.  Найдите  наибольший  размер 
    первоначального вклада, при котором  через четыре года вклад будет меньше 
    25 млн рублей. У меня получается 16 млн.
    Заранее благодарю!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      x – первоначальный вклад.
      Через год: 1,1x.
      Через два: 1,1^2x.
      Начало третьего: 1,1^2x+3.
      Конец третьего: 1,1^3x+1,1\cdot 3.
      Начало 4-го: 1,1^3x+1,1\cdot 3+3.
      Конец 4-го: 1,1^4x+1,1^2\cdot 3+1,1\cdot 3.
      Потому 1,1^4x+1,1^2\cdot 3+1,1\cdot 3<25;
      x<\frac{25-1,1^2\cdot 3-1,1\cdot 3}{1,1^4};
      x<12,3;
      x=12.

      [ Ответить ]
  15. Анастасия

    Здравствуйте! Можете объяснить, как вы перешли от 4 строчки снизу к 3?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Анастасия, применила формулу суммы арифметической прогрессии: S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.

      [ Ответить ]
  16. Алексей

    Здравствуйте, Елена Юрьевна , не могли бы вы поподробней расписать , как это получилось так переписать полученную сумму.
    Заранее спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Отдельно собрали все слагаемые \frac{x}{14}, а их 14 штук. Потому получили x.
      Далее собрали все слагаемые, содержащие \frac{rx}{100}.
      В последней группе вынесли \frac{rx}{100\cdot 14} за скобку. В скобках – сумма арифметической прогрессии.

      [ Ответить ]
  17. Ильяс

    Здравствуйте Елена Юрьевна, помогите пожалуйста решить задачу:
    В июле клиент взял кредит на сумму 9 млн рублей на несколько лет. Условия его возврата следующие: 1)в начале каждого следующего года остаток долга увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; 2) до 1 июля каждого года клиент должен вернуть банку часть долга таким образом, чтобы по состоянию на 1 июля долг ежегодно уменьшался на одну и ту же сумму. Известно, что последняя выплата составит 1,25 млн рублей. Найдите общую сумму выплат, которую клиент заплатит банку.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть кредит дан на n лет. Каждый год год должно быть выплачено \frac{9}{n} млн., а также покрыт процент долга.
      В последний год должно быть выплачено таким образом
      \frac{9}{n}+\frac{9}{n}\cdot \frac{1}{4}.
      Так как последняя выплата составила 1,25 млн. рублей, то
      \frac{9}{n}+\frac{9}{n}\cdot \frac{1}{4}=1,25.
      Откуда n=9.
      Все выплаты – 9+\frac{1}{4}(9+8+...+1).

      [ Ответить ]
  18. Ильяс

    получается ответ 20250000 рублей? просто у меня так получилось

    [ Ответить ]
    • egeMax

      У меня 21,5. Если не ошибаюсь…

      [ Ответить ]
  19. Ильяс

    нет по вашей записи “все выплаты” я посчитал получается 20,25

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, конечно))

      [ Ответить ]
      • Евгения

        Подскажите как получена последняя строка в этой задаче?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Последняя строка?
          Странный вопрос…
          Как бы из предыдущей. Произошло сокращение дроби… Получили, что r=2

          [ Ответить ]
          • Евгения

            я спрашивала про последнюю строку в задаче про кредит в 9 млн
            9+0,25(9+8+7+…+1)

            [ Ответить ]
          • egeMax

            А… вот вы о чем…
            Первая выплата: 1+0,25*9
            Вторая выплата: 1+0,25*8
            Третья выплата: 1+0,25*8

            Девятая выплата: 1+0,25*1
            Суммируя, получаем 9+0,25(9+8+7+…+1)

            [ Ответить ]
          • Евгения

            Большое спасибо!!!

            [ Ответить ]
  20. Мэри

    А число 14 в решении это срок, на который берётся кредит?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, кредит берется на 14 месяцев.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif