Задание №19 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20, №21.

Разбор задания №19 одного из вариантов

15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$.

Решение:

Пусть в кредит взято $x$ рублей.

1-го числа следующего месяца (февраль) долг составит

$\frac{(100+r)}{100}x$ рублей.

Со 2-го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере

$\frac{x}{14}+\frac{r}{100}x,$

после чего сумма долга составит

$\frac{(100+r)x}{100}-\frac{x}{14}-\frac{rx}{100}$,

то есть $\frac{13x}{14}.$

(При такой схеме долг на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца).

1-го марта долг составит

$\frac{(100+r)}{100}\cdot \frac{13x}{14}.$

Со 2-го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере

$\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13x}{14},$

после чего сумма долга составит

$\frac{12x}{14}.$

И так далее…

В итоге сумма выплат составит

$(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot x)+(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13x}{14})+…+(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{x}{14}).$

Перепишем полученную сумму так:

$x+\frac{rx}{14\cdot 100}(14+13+…+1).$

Посколько известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит, то составим уравнение:

$x+\frac{rx}{14\cdot 100}(14+13+…+1)=1,15x;$

$\frac{r\cdot \frac{(14+1)\cdot 14}{2}}{1400}=0,15;$

$r=\frac{0,15\cdot 1400}{7\cdot 15};$

$r=2.$

Ответ: 2.