Задание №19 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

Елена Репина 2015-06-09 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20, №21.

Разбор задания №19 одного из вариантов

15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$ .

Решение:

Пусть в кредит взято $x$ рублей.

1-го числа следующего месяца (февраль) долг составит

$\frac{(100+r)}{100}x$ рублей.

Со 2-го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере

$\frac{x}{14}+\frac{r}{100}x,$

после чего сумма долга составит

$\frac{(100+r)x}{100}-\frac{x}{14}-\frac{rx}{100}$ ,

то есть $\frac{13x}{14}.$

(При такой схеме долг на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца).

1-го марта долг составит

$\frac{(100+r)}{100}\cdot \frac{13x}{14}.$

Со 2-го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере

$\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13x}{14},$

после чего сумма долга составит

$\frac{12x}{14}.$

И так далее…

В итоге сумма выплат составит

$(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot x)+(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13x}{14})+...+(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{x}{14}).$

Перепишем полученную сумму так:

$x+\frac{rx}{14\cdot 100}(14+13+...+1).$

Посколько известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит, то составим уравнение:

$x+\frac{rx}{14\cdot 100}(14+13+...+1)=1,15x;$

$\frac{r\cdot \frac{(14+1)\cdot 14}{2}}{1400}=0,15;$

$r=\frac{0,15\cdot 1400}{7\cdot 15};$

$r=2.$

Ответ: 2.

Автор: egeMax | комментария 53

Печать страницы

комментария 53

← Предыдущие комментарии

Мария

2016-03-10 в 15:02

Не понимаю : почему го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере x/14 …. . Отууда это ? Посему так? Ведь можно выплатить и 1/3 часть или 1/34 и тд долга

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-03-10 в 15:06
  
  Мария, в условии сказано:
  15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
  
  [ Ответить ]
Мария

2016-03-10 в 15:04

И откуда R/100 *x…

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-03-10 в 15:07
  
  $r$ % от $x$ – это $\frac{rx}{100}.$
  
  [ Ответить ]
Ильяс

2016-04-01 в 16:18

Елена Юрьевна помогите решить пожалуйста задачу:
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад
увеличивается на 10% по сравнению
с его размером в начале года, а, кроме того, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наибольший размер
первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше
25 млн рублей. У меня получается 16 млн.
Заранее благодарю!

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-01 в 20:51
  
  $x$ – первоначальный вклад.
  Через год: $1,1x.$
  Через два: $1,1^2x.$
  Начало третьего: $1,1^2x+3.$
  Конец третьего: $1,1^3x+1,1\cdot 3.$
  Начало 4-го: $1,1^3x+1,1\cdot 3+3.$
  Конец 4-го: $1,1^4x+1,1^2\cdot 3+1,1\cdot 3.$
  Потому $1,1^4x+1,1^2\cdot 3+1,1\cdot 3<25;$
  $x<\frac{25-1,1^2\cdot 3-1,1\cdot 3}{1,1^4};$
  $x<12,3;$
  $x=12.$
  
  [ Ответить ]
Анастасия

2016-04-05 в 09:54

Здравствуйте! Можете объяснить, как вы перешли от 4 строчки снизу к 3?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-05 в 10:08
  
  Анастасия, применила формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$
  
  [ Ответить ]
Алексей

2016-04-15 в 15:58

Здравствуйте, Елена Юрьевна , не могли бы вы поподробней расписать , как это получилось так переписать полученную сумму.
Заранее спасибо.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-15 в 22:44
  
  Отдельно собрали все слагаемые $\frac{x}{14},$ а их $14$ штук. Потому получили $x$ .
  Далее собрали все слагаемые, содержащие $\frac{rx}{100}.$
  В последней группе вынесли $\frac{rx}{100\cdot 14}$ за скобку. В скобках – сумма арифметической прогрессии.
  
  [ Ответить ]
Ильяс

2016-04-18 в 16:59

Здравствуйте Елена Юрьевна, помогите пожалуйста решить задачу:
В июле клиент взял кредит на сумму 9 млн рублей на несколько лет. Условия его возврата следующие: 1)в начале каждого следующего года остаток долга увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; 2) до 1 июля каждого года клиент должен вернуть банку часть долга таким образом, чтобы по состоянию на 1 июля долг ежегодно уменьшался на одну и ту же сумму. Известно, что последняя выплата составит 1,25 млн рублей. Найдите общую сумму выплат, которую клиент заплатит банку.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-18 в 20:40
  
  Пусть кредит дан на $n$ лет. Каждый год год должно быть выплачено $\frac{9}{n}$ млн., а также покрыт процент долга.
  В последний год должно быть выплачено таким образом
  $\frac{9}{n}+\frac{9}{n}\cdot \frac{1}{4}.$
  Так как последняя выплата составила $1,25$ млн. рублей, то
  $\frac{9}{n}+\frac{9}{n}\cdot \frac{1}{4}=1,25.$
  Откуда $n=9.$
  Все выплаты – $9+\frac{1}{4}(9+8+...+1).$
  
  [ Ответить ]
Ильяс

2016-04-19 в 05:37

получается ответ 20250000 рублей? просто у меня так получилось

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-19 в 14:35
  
  У меня 21,5. Если не ошибаюсь…
  
  [ Ответить ]
Ильяс

2016-04-19 в 17:03

нет по вашей записи “все выплаты” я посчитал получается 20,25

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-19 в 17:30
  
  Да, конечно))
  
  [ Ответить ]
  - Евгения
    
    2016-05-31 в 12:24
    
    Подскажите как получена последняя строка в этой задаче?
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-05-31 в 14:49
      
      Последняя строка?
      Странный вопрос…
      Как бы из предыдущей. Произошло сокращение дроби… Получили, что r=2
      
      [ Ответить ]
      - Евгения
        
        2016-05-31 в 22:09
        
        я спрашивала про последнюю строку в задаче про кредит в 9 млн
        9+0,25(9+8+7+…+1)
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2016-05-31 в 22:18
        
        А… вот вы о чем…
        Первая выплата: 1+0,25*9
        Вторая выплата: 1+0,25*8
        Третья выплата: 1+0,25*8
        …
        Девятая выплата: 1+0,25*1
        Суммируя, получаем 9+0,25(9+8+7+…+1)
        
        [ Ответить ]
      - Евгения
        
        2016-06-01 в 20:07
        
        Большое спасибо!!!
        
        [ Ответить ]
Мэри

2016-04-23 в 14:59

А число 14 в решении это срок, на который берётся кредит?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-23 в 22:25
  
  Да, кредит берется на 14 месяцев.
  
  [ Ответить ]