Задание №19 из Тренировочного варианта №88 А. Ларина

Смотрите также задания 15, 16, 17, 18, 20 Тренировочного варианта №88. А. Ларина

В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года – y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение:

Пусть в январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке на сумму $z$.

Тогда через год при $x$ % годовых на счету окажется сумма $z+\frac{xz}{100}$.

Далее вкладчик снимает со счета пятую часть первоначальной суммы. То есть на счету оказывается  сумма $\frac{4z}{5}+\frac{xz}{100}.$

В банке меняется процентная ставка и составляет теперь  $30-x$ %.

Тогда еще через год у вкладчика на счету окажется

$\frac{4z}{5}+\frac{xz}{100}+\frac{(30-x)(\frac{4z}{5}+\frac{xz}{100})}{100}.$

Нас интересует значение $x$, при котором значение  $f(x)=(\frac{4z}{5}+\frac{xz}{100})(1+\frac{30-x}{100})$ будет максимальным.

Максимальное значение функция $f(x)=\frac{z}{10000}(80+x)(130-x)$ примет в точке $\frac{130-|-80|}{2}$ (вершина параболы), то есть в точке $x=25$.

Ответ: 25.