Задание №19. Реальный ЕГЭ 2019 от 29 мая

2019-06-09

 Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15№16; №17№18

19. Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.
а) Может ли быть 10 синих карточек?
б) Может ли быть 10 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

Решение:

Пусть есть n синих карточек. Тогда красных – (50-n) штук.

Согласно условию сумма чисел с карточек равна 800.

Упорядочим числа с синих карточек: a_1>a_2>...>a_n.

Упорядочим числа с красных карточек: a_{n+1}\geq a_{n+2}\geq ...\geq a_{50}. Согласно условию a_n>a_{n+1}.

После увеличения чисел на синих карточках имеем:

2(a_1+a_2+...+a_n)+a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{50}=1560.

a) Проверим, может ли быть 10 синих карточек.

n=10, имеем

(a_1+a_2+...+a_{10})+(a_{11}+a_{12}+...+a_{50})=800   (1)

и

2(a_1+a_2+...+a_{10})+(a_{11}+a_{12}+...+a_{50})=1560   (2)

Откуда, вычитая (1) из (2), получаем:

a_1+a_2+...+a_{10}=760  и  a_{11}+a_{12}+...+a_{50}=40.

Пусть a_{11}=a_{12}=...=a_{50}=1, и числа с синих карточек, например, такие: 2;3;4;5;6;7;8;9;10;706.

Может быть 10 синих карточек.

б) Проверим, может ли быть 10 красных карточек.

n=40, имеем

a_1+a_2+...+a_{40}=760  и  a_{41}+a_{42}+...+a_{50}=40.

Поскольку любое число на синей карточке больше, чем любое на красной, то самое маленькое возможное значение числа с синей карточки – это 5. Даже если далее все числа с синих карточек отличаются, будучи упорядоченными, друг от друга на 1, то их сумма оказывается как минимум 5+6+7+...+44, то есть 980, что противоречит условию.

Не может быть 10 красных карточек.

в) Выясним какое наибольшее количество синих карточек может быть, то есть найдем наибольшее значение n при данных условиях.

Имеем

a_1+a_2+...+a_{n}=760  и  a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{50}=40.

760=a_1+a_2+...+a_{n}\geq a_n+(a_n+1)+...+(a_n+n-1)=n\cdot a_n+\frac{n^2}{2}.

Откуда

2a_n\cdot n+n^2\leq 1520.

Заметим, как уже нами было показано, синих карточек, как минимум, может быть 10.  Если их больше десяти, то a_n\geq 3.

Откуда

6n+n^2\leq 2a_n\cdot n+n^2\leq 1520;

6n+n^2\leq 1520;

n^2+6n-1520\leq 0;

(n-(-3+\sqrt{1529}))(n-(-3-\sqrt{1529}))\leq 0;

n\leq \sqrt{1529}-3;

n\leq 36.

Пусть n=36. Учитывая, что a_{37}+a_{38}+...+a_{50}=40, имеем: a_n\geq 4.

Даже если a_1+a_2+...+a_{n}=4+5+...+39=774, то приходим к противоречию с тем, что a_1+a_2+...+a_{n}=760.

Пусть n=35.

Находится подходящий вариант:

a_1=4,a_2=5,...,a_{34}=37,a_{35}=63,

и

a_{36}=a_{37}=...=a_{47}=3,a_{48}=2,a_{49}=a_{50}=1.

Ответ: а) да; б) нет; в) 35.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

пятнадцать − четырнадцать =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif