Задание №19. Реальный ЕГЭ (Дальний Восток) от 29 мая 2019

 Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15; №16; №17; №18

19. Дана последовательность $a_n$ из $100$ натуральных чисел, каждое из которых, начиная со второго, либо в два раза больше предыдущего, либо на $98$ меньше.
а) Может ли последовательность состоять из $5$ чисел?
б) Какое может быть $a_1$, если $a_{100}=75$?
в) Найдите наименьшее значение наибольшего члена последовательности.

Решение:

a) Попробуем подобрать подходящую последовательность из ста членов, которая бы содержала только пять чисел.

Пусть она, например, такова:

$a;2a;4a;8a;8a-98;8a-2\cdot 98;2a;4a;8a;…$

при этом

$a=8a-2\cdot 98;$

$a=28.$

Итак, подойдет, например, следующая последовательность из ста чисел:

$28;56;112;224;126;…;28;56;112;224;126.$

б) Если $a_{100}$-м оказалось число $75,$ то $a_{99}=\frac{75}{2},$ что невозможно (последовательность состоит из натуральных чисел), либо $a_{99}=75+98=173,$ что допустимо.

Опять же, рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что $a_{98}=75+2\cdot 98;a_{97}=75+3\cdot 98$ и так далее.

Итак, $a_1=75+99\cdot 98=9777.$

в) Ясно, что если мы ищем наименьшее значение наибольшего члена последовательности, то в процессе формирования этой последовательности должно присутствовать действие, которое бы уменьшало тот член последовательности, что превысил $98.$

То есть то, что наименьшее значение наибольшего члена последовательности больше $98,$ – это ясно.

Тот член последовательности (максимальный), что уменьшается на $98,$ должен быть четным, иначе бы до этого также должно было произойти уменьшение члена последовательности на $98,$ что не выгодно.

Попробуем подобрать число вида $2^{k}\cdot n$ ($k,n\in N$), не сильно большие $98.$

$2^7=128;$

$3\cdot 2^5=192;$

$5\cdot 2^5=160;$

$7\cdot 2^4=112.$

Вариант $112$ – весьма неплохой.

Рассмотрим последовательность

$7;14;28;56;112;14;28;56;112;14;…$

и покажем, что невозможно подобрать требуемую последовательность с наименьшим значением наибольшего члена, меньшим $112.$

Достаточно, как мы уже выяснили, искать наименьшее значение наибольшего члена последовательности среди четных чисел от $98$ до $112.$

1. $…;100;2;4;8;16;32;64;128$ – не интересна последовательность;
2. $…;102;4;8;16;32;64;128$ – не интересна последовательность;
3. $…;104;6;12;24;48;96;192$ – не интересна последовательность;
4. $…;106;8;16;32;64;128$ – не интересна последовательность;
5. $…;108;10;20;40;80;160$ – не интересна последовательность;
6. $…;110;12;24;48;96;192$ – не интересна последовательность.

Итак, наименьшее значение наибольшего члена указанной в условии последовательности, – $112.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $112.$

Аналог

Дана последовательность $a_n$ из $400$ натуральных чисел, каждое из которых, начиная со второго, либо в два раза больше предыдущего, либо на $66$ меньше.
а) Может ли последовательность состоять из $7$ чисел?
б) Какое может быть $a_1$, если $a_{400}=9$?
в) Найдите наименьшее значение наибольшего члена последовательности $a_n$.

Ответ: а) да; б) $26343;$ в) $88.$