Задание №19. Реальный ЕГЭ (Дальний Восток) от 29 мая 2019

2019-06-21

 Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15№16; №17№18

19. Дана последовательность a_n из 100 натуральных чисел, каждое из которых, начиная со второго, либо в два раза больше предыдущего, либо на 98 меньше.
а) Может ли последовательность состоять из 5 чисел?
б) Какое может быть a_1, если a_{100}=75?
в) Найдите наименьшее значение наибольшего члена последовательности.

Решение:

a) Попробуем подобрать подходящую последовательность из ста членов, которая бы содержала только пять чисел.

Пусть она, например, такова:

a;2a;4a;8a;8a-98;8a-2\cdot 98;2a;4a;8a;...

при этом

a=8a-2\cdot 98;

a=28.

Итак, подойдет, например, следующая последовательность из ста чисел:

28;56;112;224;126;...;28;56;112;224;126.

б) Если a_{100}-м оказалось число 75, то a_{99}=\frac{75}{2}, что невозможно (последовательность состоит из натуральных чисел), либо a_{99}=75+98=173, что допустимо.

Опять же, рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что a_{98}=75+2\cdot 98;a_{97}=75+3\cdot 98 и так далее.

Итак, a_1=75+99\cdot 98=9777.

в) Ясно, что если мы ищем наименьшее значение наибольшего члена последовательности, то в процессе формирования этой последовательности должно присутствовать действие, которое бы уменьшало тот член последовательности, что превысил 98.

То есть то, что наименьшее значение наибольшего члена последовательности больше 98, – это ясно.

Тот член последовательности (максимальный), что уменьшается на 98, должен быть четным, иначе бы до этого также должно было произойти уменьшение члена последовательности на 98, что не выгодно.

Попробуем подобрать число вида 2^{k}\cdot n (k,n\in N), не сильно большие 98.

2^7=128;

3\cdot 2^5=192;

5\cdot 2^5=160;

7\cdot 2^4=112.

Вариант 112 – весьма неплохой.

Рассмотрим последовательность

7;14;28;56;112;14;28;56;112;14;...

и покажем, что невозможно подобрать требуемую последовательность с наименьшим значением наибольшего члена, меньшим 112.

Достаточно, как мы уже выяснили, искать наименьшее значение наибольшего члена последовательности среди четных чисел от 98 до 112.

  1. ...;100;2;4;8;16;32;64;128 – не интересна последовательность;
  2. ...;102;4;8;16;32;64;128 – не интересна последовательность;
  3. ...;104;6;12;24;48;96;192 – не интересна последовательность;
  4. ...;106;8;16;32;64;128 – не интересна последовательность;
  5. ...;108;10;20;40;80;160 – не интересна последовательность;
  6. ...;110;12;24;48;96;192 – не интересна последовательность.

Итак, наименьшее значение наибольшего члена указанной в условии последовательности, – 112.

Ответ: а) да; б) нет; в) 112.


Аналог

Дана последовательность a_n из 400 натуральных чисел, каждое из которых, начиная со второго, либо в два раза больше предыдущего, либо на 66 меньше.
а) Может ли последовательность состоять из 7 чисел?
б) Какое может быть a_1, если a_{400}=9?
в) Найдите наименьшее значение наибольшего члена последовательности a_n.

Ответ: а) да; б) 26343; в) 88.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




два × 4 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif