Задание № 19 Т/Р №102 А. Ларина

При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 10000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца.

Решение:

Пусть глубина колодца $n$ метров.

Введем в рассмотрение арифметическую прогрессию ${a_n}:$

$a_n$ – цена $n-$го метра колодца, при этом $a_1=1000$, разность прогрессии $d$ есть $500$.

Так как средняя стоимость 1 м колодца по условию оказалась равной 6250 рублей, то за весь $n$-метровый колодец заплатили $6250n$ рублей.

Итак,

$S_n+10000=6250n$,

где $S_n$ – сумма арифметической прогрессии $a_n$ (цена $n$ метров колодца).

Имеем

$\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n+10000=6250n;$

$(2000+500(n-1))n+20000=12500n;$

$500n^2-11000n+20000=0;$

$n^2-22n+40=0;$

$n=11\pm9.$

По условию $n>10$, поэтому из двух вариантов нам подходит  $n=20.$

Ответ: 20.