В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»
Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20.
В Доме правительства 18 этажей. На каждом этаже, кроме первого, находится министерство. Однажды утром все 17 министров зашли в лифт, который может сделать только один рейс, а дальше каждый министр должен идти до своего этажа пешком по лестнице. Известно, что каждый министр с неудовольствием опускается на один этаж вниз по лестнице и с двойным неудовольствием поднимается на один этаж вверх по лестнице. На каком этаже им следует остановить лифт, чтобы сумма всех не удовольствий была наименьшей?
Решение:
Пусть лифт остановился на -м этаже.
Из министров
человек получат неудовольствие, а
– двойное неудовольствие.
О министрах, спускающихся вниз:
Один из министров получит одно неудовольствие,
второй – два неудовольствия,
…
-ый министр получит
неудовольствия.
Суммарное количество неудовольствий – сумма
членов арифметической прогрессии с первым членом, равным
, последним –
:
О министрах, поднимающихся вверх:
Один из министров получит одно двойное неудовольствие (или 2 неудовольствия),
второй – два двойных неудовольствия (или 4 неудовольствия),
…
-ый министр получит
двойных неудовольствия (или
неудовольствий).
Суммарное количество двойных неудовольствий – сумма
членов арифметической прогрессии с первым членом, равным
, последним –
:
Итак, найдем, при каком же значении сумма всех неудовольствий
будет минимальной:
Так как
,
то
Выбираем ближайшее натуральное число к числу Это
Ответ: 13.
Здравствуйте. Почему в формуле суммы неудовольствий, количества неудовольствий k-2 , ведь всего их 17,также один министр остается на своем этаже, и по формуле суммы арифметической прогрессии
S=(An+d(n-1))n/2 (d) умножается на (n-1) следовательно количество неудовольствий будет k-3
Артем, я использовала вот эту формулу суммы
членов арифметической прогрессии
.
Я ответила на вопрос?
Да. Спасибо.
Вообще-то это моя задача, придуманная в 1991 году для конкурса “Математика 6-8” журнала “Квант” (там в тексте, правда, были не министры, а школьники). Против ее тиражирования (и даже без указания автора) не возражаю. Обидно другое: ответ везде приводят НЕПРАВИЛЬНЫЙ. На самом-то деле этаж должен быть не 13-й, а 14-й. Почему? Да потому что тем, кому надо на нижние этажи, ВООБЩЕ НЕ СЛЕДУЕТ пользоваться лифтом. Они должны сразу идти по лестнице. Это и позволяет переместить точку финиша.
Ого! Неожиданно! Во всем!)
То есть те, кому надо не выше, чем на 5-й этаж, сразу поднимаются пешком, а лифт едет на 14-й этаж, и дальше все остальные расходятся кому куда надо.