Главная › 17 (С5) Практич. задачи › Задание №19 Т/Р №103 А. Ларина

05 Фев 2015

Категория: 17 (С5) Практич. задачиТ/P A. Ларина

Задание №19 Т/Р №103 А. Ларина

Елена Репина 2015-02-05 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20.
В Доме правительства 18 этажей. На каждом этаже, кроме первого, находится министерство. Однажды утром все 17 министров зашли в лифт, который может сделать только один рейс, а дальше каждый министр должен идти до своего этажа пешком по лестнице. Известно, что каждый министр с неудовольствием опускается на один этаж вниз по лестнице и с двойным неудовольствием поднимается на один этаж вверх по лестнице. На каком этаже им следует остановить лифт, чтобы сумма всех не удовольствий была наименьшей?

Решение:

Пусть лифт остановился на $k$ -м этаже.

Из $16$ министров $k-2$ человек получат неудовольствие, а $18-k$ – двойное неудовольствие.

О министрах, спускающихся вниз:

Один из министров получит одно неудовольствие,

второй – два неудовольствия,

…

$k-2$ -ый министр получит $(k-2)$ неудовольствия.

Суммарное количество неудовольствий $S_{vniz}$ – сумма $k-2$ членов арифметической прогрессии с первым членом, равным $1$ , последним – $k-2$ :

$S_{vniz}=\frac{1+(k-2)}{2}\cdot (k-2)=\frac{1}{2}k^2-\frac{3}{2}k+1.$

О министрах, поднимающихся вверх:

Один из министров получит одно двойное неудовольствие (или 2 неудовольствия),

второй – два двойных неудовольствия (или 4 неудовольствия),

…

$18-k$ -ый министр получит $(18-k)$ двойных неудовольствия (или $2(18-k)$ неудовольствий).

Суммарное количество двойных неудовольствий $S_{vverh}$ – сумма $18-k$ членов арифметической прогрессии с первым членом, равным $2$ , последним – $2(18-k)$ :

$S_{vverh}=\frac{2+2(18-k)}{2}\cdot (18-k)=k^2-37k+18\cdot 19.$

Итак, найдем, при каком же значении $k$ сумма всех неудовольствий $(S_{vniz}+S_{vverh})$ будет минимальной:

Так как

$S_{vniz}+S_{vverh}=\frac{3}{2}k^2-\frac{77}{2}k+18\cdot 19+1$ ,

то

$k_{min}=\frac{\frac{77}{2}}{2\cdot \frac{3}{2}}=12\frac{5}{6}.$

Выбираем ближайшее натуральное число к числу $12\frac{5}{6}.$ Это $k=13.$

Ответ: 13.

Автор: egeMax | комментариев 6

Печать страницы

комментариев 6

Артем

2015-05-06 в 00:41

Здравствуйте. Почему в формуле суммы неудовольствий, количества неудовольствий k-2 , ведь всего их 17,также один министр остается на своем этаже, и по формуле суммы арифметической прогрессии
S=(An+d(n-1))n/2 (d) умножается на (n-1) следовательно количество неудовольствий будет k-3

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-06 в 08:37
  
  Артем, я использовала вот эту формулу суммы $n$ членов арифметической прогрессии $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n$ .
  Я ответила на вопрос?
  
  [ Ответить ]
Артем

2015-05-06 в 09:42

Да. Спасибо.

[ Ответить ]
Игорь

2020-06-07 в 06:43

Вообще-то это моя задача, придуманная в 1991 году для конкурса “Математика 6-8” журнала “Квант” (там в тексте, правда, были не министры, а школьники). Против ее тиражирования (и даже без указания автора) не возражаю. Обидно другое: ответ везде приводят НЕПРАВИЛЬНЫЙ. На самом-то деле этаж должен быть не 13-й, а 14-й. Почему? Да потому что тем, кому надо на нижние этажи, ВООБЩЕ НЕ СЛЕДУЕТ пользоваться лифтом. Они должны сразу идти по лестнице. Это и позволяет переместить точку финиша.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2020-06-07 в 10:56
  
  Ого! Неожиданно! Во всем!)
  
  [ Ответить ]
  - Игорь
    
    2020-06-07 в 14:49
    
    То есть те, кому надо не выше, чем на 5-й этаж, сразу поднимаются пешком, а лифт едет на 14-й этаж, и дальше все остальные расходятся кому куда надо.
    
    [ Ответить ]

Задание №19 Т/Р №103 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ