Задание №19 Т/Р №103 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

Смотрите также №15, №16, №17, №18№20.
В Доме правительства 18 этажей. На каждом этаже, кроме первого, находится министерство. Однажды утром все 17 министров зашли в лифт, который может сделать только один рейс, а дальше каждый министр должен идти до своего этажа пешком по лестнице. Известно, что каждый министр с неудовольствием опускается на один этаж вниз по лестнице и с двойным неудовольствием поднимается на один этаж вверх по лестнице. На каком этаже им следует остановить лифт, чтобы сумма всех не удовольствий была наименьшей?

Решение:

Пусть лифт остановился на k-м этаже.

Из 16 министров  k-2 человек получат неудовольствие, а 18-k – двойное неудовольствие.

О министрах, спускающихся вниз:

Один из министров получит одно неудовольствие,

второй – два неудовольствия,

k-2-ый министр получит (k-2) неудовольствия.

Суммарное количество  неудовольствий  S_{vniz} – сумма  k-2 членов арифметической прогрессии с первым членом, равным 1,  последним – k-2:

S_{vniz}=\frac{1+(k-2)}{2}\cdot (k-2)=\frac{1}{2}k^2-\frac{3}{2}k+1.

О министрах, поднимающихся вверх:

Один из министров получит одно двойное неудовольствие (или 2 неудовольствия),

второй – два двойных неудовольствия (или  4 неудовольствия),

18-k-ый министр получит (18-k) двойных неудовольствия (или 2(18-k) неудовольствий).

Суммарное количество двойных неудовольствий  S_{vverh} – сумма  18-k членов арифметической прогрессии с первым членом, равным 2,  последним – 2(18-k):

S_{vverh}=\frac{2+2(18-k)}{2}\cdot (18-k)=k^2-37k+18\cdot 19.

Итак, найдем, при каком же значении k сумма всех неудовольствий  (S_{vniz}+S_{vverh}) будет минимальной:

Так как

S_{vniz}+S_{vverh}=\frac{3}{2}k^2-\frac{77}{2}k+18\cdot 19+1,

то

k_{min}=\frac{\frac{77}{2}}{2\cdot \frac{3}{2}}=12\frac{5}{6}.

Выбираем ближайшее натуральное число к числу 12\frac{5}{6}.  Это k=13.

Ответ: 13.

Печать страницы
комментариев 6
  1. Артем

    Здравствуйте. Почему в формуле суммы неудовольствий, количества неудовольствий k-2 , ведь всего их 17,также один министр остается на своем этаже, и по формуле суммы арифметической прогрессии
    S=(An+d(n-1))n/2 (d) умножается на (n-1) следовательно количество неудовольствий будет k-3

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Артем, я использовала вот эту формулу суммы n членов арифметической прогрессии S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n.
      Я ответила на вопрос?

      [ Ответить ]
  2. Артем

    Да. Спасибо.

    [ Ответить ]
  3. Игорь

    Вообще-то это моя задача, придуманная в 1991 году для конкурса “Математика 6-8” журнала “Квант” (там в тексте, правда, были не министры, а школьники). Против ее тиражирования (и даже без указания автора) не возражаю. Обидно другое: ответ везде приводят НЕПРАВИЛЬНЫЙ. На самом-то деле этаж должен быть не 13-й, а 14-й. Почему? Да потому что тем, кому надо на нижние этажи, ВООБЩЕ НЕ СЛЕДУЕТ пользоваться лифтом. Они должны сразу идти по лестнице. Это и позволяет переместить точку финиша.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ого! Неожиданно! Во всем!)

      [ Ответить ]
      • Игорь

        То есть те, кому надо не выше, чем на 5-й этаж, сразу поднимаются пешком, а лифт едет на 14-й этаж, и дальше все остальные расходятся кому куда надо.

        [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




13 + десять =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif