Задание №19 Т/Р №112 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20.
В 1‐й день завод изготовил 1454 детали и упаковал их в коробки двух видов: большие и маленькие. Известно, что маленькая коробка вмещает 5 деталей. Во 2‐й день было изготовлено и упаковано в такие же коробки 1467 деталей. При этом в первый день было использовано столько маленьких коробок, сколько больших во второй, а во второй день – столько маленьких коробок, сколько больших в первый. Сколько маленьких коробок было использовано в 1‐й день?

Решение:

Пусть в 1-й день было использовано $x$ маленьких коробок и $y$ больших. Тогда, с учетом того, что маленькая коробка вмещает $5$ деталей, – большая коробка вмещает  $\frac{1454-5x}{y}$ деталей.

Во второй день $1467$ деталей были уложены в $x$ больших и $y$ маленьких коробок, поэтому

$5y+\frac{(1454-5x)x}{y}=1467;$

$5y^2-5x^2=1467y-1454x;$

$5(y-x)(y+x)=1454(y-x)+13y;$

$(y-x)(5y+5x-1454)=13y;$

Заметим, решая уравнение в натуральных числах, $y-x$ не делится нацело нa $y$  при различных $x,y.$

$(y-x)(5+\frac{5x-1454}{y})=13;$

Рассмотрим случаи:

1) $y-x=13$, тогда $5+\frac{5x-1454}{y}=1$.

$\begin{cases}y=x+13,\\5+\frac{5x-1454}{x+13}=1;&\end{cases}$

Данная система уравнений не имеет решений в $N.$

2) $5+\frac{5x-1454}{y}=13$, тогда $y-x=1$.

$\begin{cases}y=x+1,\\5+\frac{5x-1454}{x+1}=13;&\end{cases}$

Данная система уравнений не имеет решений в $N.$

3) $y-x=-13$, тогда $5+\frac{5x-1454}{y}=-1$.

$\begin{cases}y=x-13,\\5+\frac{5x-1454}{x-13}=-1;&\end{cases}$

Данная система уравнений не имеет решений в $N.$

4) $5+\frac{5x-1454}{y}=-13$, тогда $y-x=-1$.

$\begin{cases}y=x-1,\\5+\frac{5x-1454}{x-1}=-13;&\end{cases}$

$\begin{cases}y=x-1,\\x=64;&\end{cases}$

Ответ: 64.