Задание №19 Т/Р №113 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20.
1 апреля 2015 года близнецы Саша и Паша планируют взять в кредит одинаковые суммы денег на покупку автомобилей. Саша хочет оформить кредит в банке «Вампириал» под 20% годовых, а Паша – в банке «Хитёр‐Инвест» под 10% годовых. Схема выплаты кредита у каждого банка следующая: 1 апреля каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20% и 10% соответственно), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Кто из братьев должен будет в итоге заплатить своему банку больше денег, если известно, что Саша планирует выплатить долг двумя равными платежами, а Паша – пятью равными платежами?

Решение:

Пусть Саша и Паша планирую взять 1 апреля 2015 года $x$ денег в кредит. Пусть Саша планирует выплатить банку $n$ рублей, Паша – $m$ рублей.

Про Сашу.

1 апреля 2016 года на счету Саши будет долг (после начисления $20$% годовых) в размере $1,2x$ рублей.

Он возвращает банку $\frac{n}{2}$ рублей, после чего на его счету долг в $1,2x-\frac{n}{2}$ рублей.

1 апреля 2017 года на счету Саши будет долг $1,2(1,2x-\frac{n}{2})$ рублей, после чего он его покрывает полностью (суммой $\frac{n}{2}$).

Имеем:

$1,2(1,2x-\frac{n}{2})=\frac{n}{2};$

$1,2^2x-\frac{1,2n}{2}=\frac{n}{2};$

$\frac{2,2n}{2}=1,2^2x;$

$n=\frac{1,2^2x}{1,1};$

$n=\frac{72}{55}x;$

Про Пашу.

1 апреля 2016 года на счету Паши будет долг (после начисления $10$% годовых) в размере $1,1x$ рублей.

Он возвращает банку $\frac{m}{5}$ рублей, после чего на его счету долг в $1,1x-\frac{m}{5}$ рублей.

1 апреля 2017 года на счету Паши будет долг $1,1(1,1x-\frac{m}{5})$ рублей.

Он возвращает банку $\frac{m}{5}$ рублей, после чего на его счету долг в $1,1(1,1x-\frac{m}{5})-\frac{m}{5}$   (или  $1,1^2x-\frac{1,1m}{5}-\frac{m}{5}$) рублей.

…

1 апреля 2020 года на счету Паши будет долг $1,1^5x-\frac{1,1^4m}{5}-\frac{1,1^3m}{5}-\frac{1,1^2m}{5}-\frac{1,1m}{5}$, после чего он его покрывает полностью.

Имеем:

$1,1^5x-\frac{1,1^4m}{5}-\frac{1,1^3m}{5}-\frac{1,1^2m}{5}-\frac{1,1m}{5}=\frac{m}{5};$

$1,1^5x=\frac{1,1^4m}{5}+\frac{1,1^3m}{5}+\frac{1,1^2m}{5}+\frac{1,1m}{5}+\frac{m}{5};$

$1,1^5x=\frac{m}{5}(1,1^4+1,1^3+1,1^2+1,1+1);$

Замечаем в левой части равенства сумму 5-ти членов геометрической прогрессии с первым членом $1$ и шагом $1,1.$

$1,1^5x=\frac{m}{5}\cdot \frac{1(1,1^5-1)}{1,1-1};$

 $m=\frac{1,1^5\cdot 0,5}{1,1^5-1}x;$

Сравним $\frac{1,1^5\cdot 0,5}{1,1^5-1}$ и $\frac{72}{55}.$

Для этого составим разность  $1,1^5\cdot 55$  и  $144(1,1^5-1):$

 $1,1^5\cdot 55-144(1,1^5-1)=-(89\cdot 1,1^5-144)=-(89\cdot 1,1^5-144)=$

$=-(89\cdot 1,61051-144)=-(143,33539-144)>0.$

Итак, Паша должен будет в итоге заплатить своему банку больше денег.

Ответ: Паша.