Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20.
1 апреля 2015 года близнецы Саша и Паша планируют взять в кредит одинаковые суммы денег на покупку автомобилей. Саша хочет оформить кредит в банке «Вампириал» под 20% годовых, а Паша – в банке «Хитёр‐Инвест» под 10% годовых. Схема выплаты кредита у каждого банка следующая: 1 апреля каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20% и 10% соответственно), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Кто из братьев должен будет в итоге заплатить своему банку больше денег, если известно, что Саша планирует выплатить долг двумя равными платежами, а Паша – пятью равными платежами?
Решение:
Пусть Саша и Паша планирую взять 1 апреля 2015 года $x$ денег в кредит. Пусть Саша планирует выплатить банку $n$ рублей, Паша – $m$ рублей.
Про Сашу.
1 апреля 2016 года на счету Саши будет долг (после начисления $20$% годовых) в размере $1,2x$ рублей.
Он возвращает банку $\frac{n}{2}$ рублей, после чего на его счету долг в $1,2x-\frac{n}{2}$ рублей.
1 апреля 2017 года на счету Саши будет долг $1,2(1,2x-\frac{n}{2})$ рублей, после чего он его покрывает полностью (суммой $\frac{n}{2}$).
Имеем:
$1,2(1,2x-\frac{n}{2})=\frac{n}{2};$
$1,2^2x-\frac{1,2n}{2}=\frac{n}{2};$
$\frac{2,2n}{2}=1,2^2x;$
$n=\frac{1,2^2x}{1,1};$
$n=\frac{72}{55}x;$
Про Пашу.
1 апреля 2016 года на счету Паши будет долг (после начисления $10$% годовых) в размере $1,1x$ рублей.
Он возвращает банку $\frac{m}{5}$ рублей, после чего на его счету долг в $1,1x-\frac{m}{5}$ рублей.
1 апреля 2017 года на счету Паши будет долг $1,1(1,1x-\frac{m}{5})$ рублей.
Он возвращает банку $\frac{m}{5}$ рублей, после чего на его счету долг в $1,1(1,1x-\frac{m}{5})-\frac{m}{5}$ (или $1,1^2x-\frac{1,1m}{5}-\frac{m}{5}$) рублей.
…
1 апреля 2020 года на счету Паши будет долг $1,1^5x-\frac{1,1^4m}{5}-\frac{1,1^3m}{5}-\frac{1,1^2m}{5}-\frac{1,1m}{5}$, после чего он его покрывает полностью.
Имеем:
$1,1^5x-\frac{1,1^4m}{5}-\frac{1,1^3m}{5}-\frac{1,1^2m}{5}-\frac{1,1m}{5}=\frac{m}{5};$
$1,1^5x=\frac{1,1^4m}{5}+\frac{1,1^3m}{5}+\frac{1,1^2m}{5}+\frac{1,1m}{5}+\frac{m}{5};$
$1,1^5x=\frac{m}{5}(1,1^4+1,1^3+1,1^2+1,1+1);$
Замечаем в левой части равенства сумму 5-ти членов геометрической прогрессии с первым членом $1$ и шагом $1,1.$
$1,1^5x=\frac{m}{5}\cdot \frac{1(1,1^5-1)}{1,1-1};$
$m=\frac{1,1^5\cdot 0,5}{1,1^5-1}x;$
Сравним $\frac{1,1^5\cdot 0,5}{1,1^5-1}$ и $\frac{72}{55}.$
Для этого составим разность $1,1^5\cdot 55$ и $144(1,1^5-1):$
$1,1^5\cdot 55-144(1,1^5-1)=-(89\cdot 1,1^5-144)=-(89\cdot 1,1^5-144)=$
$=-(89\cdot 1,61051-144)=-(143,33539-144)>0.$
Итак, Паша должен будет в итоге заплатить своему банку больше денег.
Ответ: Паша.
Елена Юрьевна! Это не принципиально, но все же 144-55=89
Зоя Федоровна, конечно. Спасибо большое!
Елена Юрьевна,добрый вечер! я решала эту задачу иначе: сумму кредита приняла за 1, а ежемесячные выплаты за Х. в одном случае получилось 2 строки (две выплаты) в другом5. последняя строка-уравнение: сумма долга =0.вычисления получились намного проще.
с уважением
Ольга, тоже репетитор
Ольга, спасибо. А за x приняты выплаты одного ведь? А выплаты второго?
Елена Юрьевна, здравствуйте!
я сначала просчитала одного и нашла для него общую сумму выплат( найденное х умножила на 2), а затем независимо от него второго, соответственно найденное х умножила на 5 и сравнила. кстати, очень близкие числа получились. Вроде никакой логической ошибки у себя не вижу.Вообще эти задачи мне кажется лучше решать немного “в лоб”, ведь никто не требует вывода каких-то банковских формул.
спасибо за задачу про трапецию, не могла увидеть ГМТ с окружностью.
С уважением
Ольга
Это снова я. решила поподробнее описать мою идею.
Саша:
1. 1х1,2-Х=1,2-Х
2.(1,2-Х)х1,2-Х=0
1,44-2,2Х=0
Х=1,44:2,2
2Х=144:11=1,30909… это общая сумма выплат Саши, для Паши аналогично, только подольше.
Буду рада нашему дальнейшему сотрудничеству.
Ольга
Ольга, уверена, кто-то воспользуется вашим решением. Спасибо!
Здравствуйте, скажите, пожалуйста, почему Саша 1 апреля 2016 года
озвращает банку \frac{n}{2} рублей, а не просто n?
Ариадна, Саша планирует выплатить долг двумя равными платежами. То есть если надо вернуть n, то он дважды выплатит по n/2.
Можно рассматривать разовую выплату и как n. Но тогда вся выплата составит 2n.
кекекекек