Задание №19 Т/Р №113 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

Смотрите также №15№16№17№18№20.
1 апреля 2015 года близнецы Саша и Паша планируют взять в кредит одинаковые суммы денег на покупку автомобилей. Саша хочет оформить кредит в банке «Вампириал» под 20% годовых, а Паша – в банке «Хитёр‐Инвест» под 10% годовых. Схема выплаты кредита у каждого банка следующая: 1 апреля каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20% и 10% соответственно), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Кто из братьев должен будет в итоге заплатить своему банку больше денег, если известно, что Саша планирует выплатить долг двумя равными платежами, а Паша – пятью равными платежами?

Решение:

Пусть Саша и Паша планирую взять 1 апреля 2015 года x денег в кредит. Пусть Саша планирует выплатить банку n рублей, Паша – m рублей.

Про Сашу.

1 апреля 2016 года на счету Саши будет долг (после начисления 20% годовых) в размере 1,2x рублей.

Он возвращает банку \frac{n}{2} рублей, после чего на его счету долг в 1,2x-\frac{n}{2} рублей.

1 апреля 2017 года на счету Саши будет долг 1,2(1,2x-\frac{n}{2}) рублей, после чего он его покрывает полностью (суммой \frac{n}{2}).

Имеем:

1,2(1,2x-\frac{n}{2})=\frac{n}{2};

1,2^2x-\frac{1,2n}{2}=\frac{n}{2};

\frac{2,2n}{2}=1,2^2x;

n=\frac{1,2^2x}{1,1};

n=\frac{72}{55}x;

Про Пашу.

1 апреля 2016 года на счету Паши будет долг (после начисления 10% годовых) в размере 1,1x рублей.

Он возвращает банку \frac{m}{5} рублей, после чего на его счету долг в 1,1x-\frac{m}{5} рублей.

1 апреля 2017 года на счету Паши будет долг 1,1(1,1x-\frac{m}{5}) рублей.

Он возвращает банку \frac{m}{5} рублей, после чего на его счету долг в 1,1(1,1x-\frac{m}{5})-\frac{m}{5}   (или  1,1^2x-\frac{1,1m}{5}-\frac{m}{5}) рублей.

1 апреля 2020 года на счету Паши будет долг 1,1^5x-\frac{1,1^4m}{5}-\frac{1,1^3m}{5}-\frac{1,1^2m}{5}-\frac{1,1m}{5}, после чего он его покрывает полностью.

Имеем:

1,1^5x-\frac{1,1^4m}{5}-\frac{1,1^3m}{5}-\frac{1,1^2m}{5}-\frac{1,1m}{5}=\frac{m}{5};

1,1^5x=\frac{1,1^4m}{5}+\frac{1,1^3m}{5}+\frac{1,1^2m}{5}+\frac{1,1m}{5}+\frac{m}{5};

1,1^5x=\frac{m}{5}(1,1^4+1,1^3+1,1^2+1,1+1);

Замечаем в левой части равенства сумму 5-ти членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и шагом 1,1.

1,1^5x=\frac{m}{5}\cdot \frac{1(1,1^5-1)}{1,1-1};

 m=\frac{1,1^5\cdot 0,5}{1,1^5-1}x;

Сравним \frac{1,1^5\cdot 0,5}{1,1^5-1} и \frac{72}{55}.

Для этого составим разность  1,1^5\cdot 55  и  144(1,1^5-1):

 1,1^5\cdot 55-144(1,1^5-1)=-(89\cdot 1,1^5-144)=-(89\cdot 1,1^5-144)=

=-(89\cdot 1,61051-144)=-(143,33539-144)>0.

Итак, Паша должен будет в итоге заплатить своему банку больше денег.

Ответ: Паша.

Печать страницы
Комментариев: 10
  1. Зоя Фёдоровна

    Елена Юрьевна! Это не принципиально, но все же 144-55=89

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Зоя Федоровна, конечно. Спасибо большое!

      [ Ответить ]
  2. ольга

    Елена Юрьевна,добрый вечер! я решала эту задачу иначе: сумму кредита приняла за 1, а ежемесячные выплаты за Х. в одном случае получилось 2 строки (две выплаты) в другом5. последняя строка-уравнение: сумма долга =0.вычисления получились намного проще.
    с уважением
    Ольга, тоже репетитор

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ольга, спасибо. А за x приняты выплаты одного ведь? А выплаты второго?

      [ Ответить ]
      • ольга

        Елена Юрьевна, здравствуйте!
        я сначала просчитала одного и нашла для него общую сумму выплат( найденное х умножила на 2), а затем независимо от него второго, соответственно найденное х умножила на 5 и сравнила. кстати, очень близкие числа получились. Вроде никакой логической ошибки у себя не вижу.Вообще эти задачи мне кажется лучше решать немного “в лоб”, ведь никто не требует вывода каких-то банковских формул.
        спасибо за задачу про трапецию, не могла увидеть ГМТ с окружностью.

        С уважением

        Ольга

        [ Ответить ]
  3. ольга

    Это снова я. решила поподробнее описать мою идею.
    Саша:
    1. 1х1,2-Х=1,2-Х
    2.(1,2-Х)х1,2-Х=0
    1,44-2,2Х=0
    Х=1,44:2,2
    2Х=144:11=1,30909… это общая сумма выплат Саши, для Паши аналогично, только подольше.

    Буду рада нашему дальнейшему сотрудничеству.

    Ольга

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ольга, уверена, кто-то воспользуется вашим решением. Спасибо!

      [ Ответить ]
  4. Ариадна

    Здравствуйте, скажите, пожалуйста, почему Саша 1 апреля 2016 года
    озвращает банку \frac{n}{2} рублей, а не просто n?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ариадна, Саша планирует выплатить долг двумя равными платежами. То есть если надо вернуть n, то он дважды выплатит по n/2.
      Можно рассматривать разовую выплату и как n. Но тогда вся выплата составит 2n.

      [ Ответить ]
  5. кек

    кекекекек

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif