Главная › 15 (С4) Практич. задачи › Задание №19 Т/Р №113 А. Ларина

16 Апр 2015

Категория: 15 (С4) Практич. задачиТ/P A. Ларина

Задание №19 Т/Р №113 А. Ларина

Елена Репина 2015-04-16 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20.
1 апреля 2015 года близнецы Саша и Паша планируют взять в кредит одинаковые суммы денег на покупку автомобилей. Саша хочет оформить кредит в банке «Вампириал» под 20% годовых, а Паша – в банке «Хитёр‐Инвест» под 10% годовых. Схема выплаты кредита у каждого банка следующая: 1 апреля каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20% и 10% соответственно), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Кто из братьев должен будет в итоге заплатить своему банку больше денег, если известно, что Саша планирует выплатить долг двумя равными платежами, а Паша – пятью равными платежами?

Решение:

Пусть Саша и Паша планирую взять 1 апреля 2015 года $x$ денег в кредит. Пусть Саша планирует выплатить банку $n$ рублей, Паша – $m$ рублей.

Про Сашу.

1 апреля 2016 года на счету Саши будет долг (после начисления $20$ % годовых) в размере $1,2x$ рублей.

Он возвращает банку $\frac{n}{2}$ рублей, после чего на его счету долг в $1,2x-\frac{n}{2}$ рублей.

1 апреля 2017 года на счету Саши будет долг $1,2(1,2x-\frac{n}{2})$ рублей, после чего он его покрывает полностью (суммой $\frac{n}{2}$ ).

Имеем:

$1,2(1,2x-\frac{n}{2})=\frac{n}{2};$

$1,2^2x-\frac{1,2n}{2}=\frac{n}{2};$

$\frac{2,2n}{2}=1,2^2x;$

$n=\frac{1,2^2x}{1,1};$

$n=\frac{72}{55}x;$

Про Пашу.

1 апреля 2016 года на счету Паши будет долг (после начисления $10$ % годовых) в размере $1,1x$ рублей.

Он возвращает банку $\frac{m}{5}$ рублей, после чего на его счету долг в $1,1x-\frac{m}{5}$ рублей.

1 апреля 2017 года на счету Паши будет долг $1,1(1,1x-\frac{m}{5})$ рублей.

Он возвращает банку $\frac{m}{5}$ рублей, после чего на его счету долг в $1,1(1,1x-\frac{m}{5})-\frac{m}{5}$ (или $1,1^2x-\frac{1,1m}{5}-\frac{m}{5}$ ) рублей.

…

1 апреля 2020 года на счету Паши будет долг $1,1^5x-\frac{1,1^4m}{5}-\frac{1,1^3m}{5}-\frac{1,1^2m}{5}-\frac{1,1m}{5}$ , после чего он его покрывает полностью.

Имеем:

$1,1^5x-\frac{1,1^4m}{5}-\frac{1,1^3m}{5}-\frac{1,1^2m}{5}-\frac{1,1m}{5}=\frac{m}{5};$

$1,1^5x=\frac{1,1^4m}{5}+\frac{1,1^3m}{5}+\frac{1,1^2m}{5}+\frac{1,1m}{5}+\frac{m}{5};$

$1,1^5x=\frac{m}{5}(1,1^4+1,1^3+1,1^2+1,1+1);$

Замечаем в левой части равенства сумму 5-ти членов геометрической прогрессии с первым членом $1$ и шагом $1,1.$

$1,1^5x=\frac{m}{5}\cdot \frac{1(1,1^5-1)}{1,1-1};$

$m=\frac{1,1^5\cdot 0,5}{1,1^5-1}x;$

Сравним $\frac{1,1^5\cdot 0,5}{1,1^5-1}$ и $\frac{72}{55}.$

Для этого составим разность $1,1^5\cdot 55$ и $144(1,1^5-1):$

$1,1^5\cdot 55-144(1,1^5-1)=-(89\cdot 1,1^5-144)=-(89\cdot 1,1^5-144)=$

$=-(89\cdot 1,61051-144)=-(143,33539-144)>0.$

Итак, Паша должен будет в итоге заплатить своему банку больше денег.

Ответ: Паша.

Автор: egeMax | комментариев 10

Печать страницы

комментариев 10

Зоя Фёдоровна

2015-04-17 в 10:42

Елена Юрьевна! Это не принципиально, но все же 144-55=89

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-04-17 в 15:16
  
  Зоя Федоровна, конечно. Спасибо большое!
  
  [ Ответить ]
ольга

2015-04-22 в 23:48

Елена Юрьевна,добрый вечер! я решала эту задачу иначе: сумму кредита приняла за 1, а ежемесячные выплаты за Х. в одном случае получилось 2 строки (две выплаты) в другом5. последняя строка-уравнение: сумма долга =0.вычисления получились намного проще.
с уважением
Ольга, тоже репетитор

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-04-23 в 07:19
  
  Ольга, спасибо. А за x приняты выплаты одного ведь? А выплаты второго?
  
  [ Ответить ]
  - ольга
    
    2015-04-23 в 13:19
    
    Елена Юрьевна, здравствуйте!
    я сначала просчитала одного и нашла для него общую сумму выплат( найденное х умножила на 2), а затем независимо от него второго, соответственно найденное х умножила на 5 и сравнила. кстати, очень близкие числа получились. Вроде никакой логической ошибки у себя не вижу.Вообще эти задачи мне кажется лучше решать немного “в лоб”, ведь никто не требует вывода каких-то банковских формул.
    спасибо за задачу про трапецию, не могла увидеть ГМТ с окружностью.
    
    С уважением
    
    Ольга
    
    [ Ответить ]
ольга

2015-04-23 в 13:35

Это снова я. решила поподробнее описать мою идею.
Саша:
1. 1х1,2-Х=1,2-Х
2.(1,2-Х)х1,2-Х=0
1,44-2,2Х=0
Х=1,44:2,2
2Х=144:11=1,30909… это общая сумма выплат Саши, для Паши аналогично, только подольше.

Буду рада нашему дальнейшему сотрудничеству.

Ольга

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-04-23 в 14:07
  
  Ольга, уверена, кто-то воспользуется вашим решением. Спасибо!
  
  [ Ответить ]
Ариадна

2015-06-01 в 15:16

Здравствуйте, скажите, пожалуйста, почему Саша 1 апреля 2016 года
озвращает банку \frac{n}{2} рублей, а не просто n?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-06-01 в 17:55
  
  Ариадна, Саша планирует выплатить долг двумя равными платежами. То есть если надо вернуть n, то он дважды выплатит по n/2.
  Можно рассматривать разовую выплату и как n. Но тогда вся выплата составит 2n.
  
  [ Ответить ]
кек

2016-09-30 в 15:01

кекекекек

[ Ответить ]

Задание №19 Т/Р №113 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ