Задание №19 Т/Р №115 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20.

Бриллиант массой 20 карат был разбит на две части, после чего его стоимость уменьшилась на 25,5 %.
а) Найдите массы частей, на которые был разбит бриллиант, если известно, что цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы.
б) На какое максимальное число процентов может уменьшиться цена бриллианта, разбитого на две части?

Решение:

а) Пусть цена бриллианта (до разбивки на две части) – $a$ единиц.

Обозначим $k=\frac{a}{20^2}.$

Пусть одна часть бриллианта весит $m$ карат, соответственно  вторая весит $20-m$ карат.

Тогда цена первой части – $km^2,$ второй – $k(20-m)^2.$

Так как после разбивки цена карата уменишилась на $25,5$%, то

$km^2+k(20-m)^2=0,745a;$

$km^2+k(20-m)^2=0,745\cdot 20^2k;$

$m^2+(20-m)^2=0,745\cdot 20^2;$

$m^2-20m+51=0;$

$m=10\pm 7;$

$m=17$ или $m=3.$

Массы частей, на которые был разбит бриллиант – $17$ и $3$.

б) Пусть максимальное число процентов, на которые может уменьшиться цена бриллианта, разбитого на две части – это $p$.

 Тогда

$km^2+k(20-m)^2=\frac{(100-p)a}{100};$

$km^2+k(20-m)^2=\frac{(100-p)\cdot 20^2k}{100};$

$m^2+(20-m)^2=4(100-p);$

$m^2-20m+2p=0;$

$p=\frac{20m-m^2}{2}.$

Максимальное значение $p$ достигается при $m=10$ (парабола $y=20-m^2$ с ветвями вниз имеет максимум в вершине) и составляет $50$ (%).

Ответ: 

а) 17 и 3.

б) 50.