Главная › 18 (С7) Числа, их свойства › Задание №19 Т/Р №163 А. Ларина

22 Сен 2016

Категория: 18 (С7) Числа, их свойстваТ/P A. Ларина

Задание №19 Т/Р №163 А. Ларина

Елена Репина 2016-09-22 2016-10-13

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №163 А. Ларина

19. Решите в целых числах уравнение

а) $2x^2+5y^2=7;$

б) $2x^2-5y^2=7;$

в) $2x^2+5y^2=7xy.$

Решение:

a)

$2x^2+5y^2=7.$

Если $|x|\geq 2,$ то $2x^2+5y^2\geq 8.$ Поэтому $|x|\in$ { $0;1$ }.

При $|x|=0$ уравнение, очевидно, не имеет решений в целых числах.

При $|x|=1$ $|y|=1.$

Итак, решения данного уравнения следующие: $(1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1).$

б) Перепишем уравнение $2x^2-5y^2=7$ следующим образом:

$2x^2=5y^2+7.$

Замечаем, левая его часть четна, тогда должна быть четна и правая часть.

Стало быть, $5y^2$ – нечетно. В свою очередь, это означает, что нечетно $y^2.$ Наконец, понимаем, что $y$ нечетен. Пусть $y=2k+1.$

Имеем

$2x^2=5(2k+1)^2+7;$

$2x^2=20k^2+20k+12;$

$x^2=10k^2+10k+6.$

Замечаем четность $x^2.$ Пусть $x=2n.$

$4n^2=10k^2+10k+6;$

$2n^2=5k^2+5k+3.$

Так как $5k^2+5k=5k(k+1)$ , то сумма $5k^2+5k$ четна (произведение любых двух последовательных чисел $k,k+1$ четно).

Переписав последнее уравнение следующим образом

$2n^2-(5k^2+5k)=3,$

замечаем противоречие – левая часть уравнения четна, правая – нет.

Уравнение не имеет решений в целых числах.

в)

$2x^2+5y^2=7xy;$

$2x^2+5y^2-5xy-2xy;$

$2x(x-y)-5y(x-y)=0;$

$(x-y)(2x-5y)=0;$

$x=y$ или $2x=5y;$

$x=y$ или $x=5n, y=2n, n\in Z.$

Ответ:

а) $(1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1)$ ;

б) решений нет;

в) $(n;n), (5n;2n), n\in Z.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (13)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (78)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 14 (С3) Неравенства (89)
- 15 (С4) Практич. задачи (71)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С6) Параметры* (79)
- 18 (С7) Числа, их свойства (38)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (60)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы