Задание №19 Т/Р №163 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №163 А. Ларина

19. Решите в целых числах уравнение

а) $2x^2+5y^2=7;$

б) $2x^2-5y^2=7;$

в) $2x^2+5y^2=7xy.$

Решение:

a) 

$2x^2+5y^2=7.$

Если $|x|\geq 2,$ то $2x^2+5y^2\geq 8.$ Поэтому $|x|\in ${$0;1$}.

При $|x|=0$ уравнение, очевидно, не имеет решений в целых числах.

При $|x|=1$ $|y|=1.$

Итак, решения данного уравнения следующие: $(1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1).$

б) Перепишем уравнение $2x^2-5y^2=7$ следующим образом:

 $2x^2=5y^2+7.$

Замечаем, левая его часть четна, тогда должна быть четна и правая часть.

Стало быть, $5y^2$ – нечетно. В свою очередь, это означает, что нечетно $y^2.$ Наконец, понимаем, что $y$ нечетен. Пусть $y=2k+1.$

Имеем

$2x^2=5(2k+1)^2+7;$

$2x^2=20k^2+20k+12;$

$x^2=10k^2+10k+6.$

Замечаем четность $x^2.$ Пусть $x=2n.$

$4n^2=10k^2+10k+6;$

$2n^2=5k^2+5k+3.$

Так как $5k^2+5k=5k(k+1)$, то сумма $5k^2+5k$ четна (произведение любых двух последовательных чисел $k,k+1$ четно).

Переписав последнее уравнение следующим образом

$2n^2-(5k^2+5k)=3,$

замечаем противоречие – левая часть уравнения четна, правая – нет.

Уравнение не имеет решений в целых числах.

в) 

$2x^2+5y^2=7xy;$

$2x^2+5y^2-5xy-2xy;$

$2x(x-y)-5y(x-y)=0;$

$(x-y)(2x-5y)=0;$

$x=y$ или $2x=5y;$

$x=y$ или $x=5n, y=2n, n\in Z.$

Ответ: 

а) $(1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1)$;

б) решений нет;

в) $(n;n), (5n;2n), n\in Z.$