Задание №19 Т/Р №163 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13№14№15№16№17№18 Тренировочной работы №163 А. Ларина

19. Решите в целых числах уравнение

а) 2x^2+5y^2=7;

б) 2x^2-5y^2=7;

в) 2x^2+5y^2=7xy.

Решение:

a) 

2x^2+5y^2=7.

Если |x|\geq 2, то 2x^2+5y^2\geq 8. Поэтому |x|\in{0;1}.

При |x|=0 уравнение, очевидно, не имеет решений в целых числах.

При |x|=1 |y|=1.

Итак, решения данного уравнения следующие: (1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1).

б) Перепишем уравнение 2x^2-5y^2=7 следующим образом:

 2x^2=5y^2+7.

Замечаем, левая его часть четна, тогда должна быть четна и правая часть.

Стало быть, 5y^2 – нечетно. В свою очередь, это означает, что нечетно y^2. Наконец, понимаем, что y нечетен. Пусть y=2k+1.

Имеем

2x^2=5(2k+1)^2+7;

2x^2=20k^2+20k+12;

x^2=10k^2+10k+6.

Замечаем четность x^2. Пусть x=2n.

4n^2=10k^2+10k+6;

2n^2=5k^2+5k+3.

Так как 5k^2+5k=5k(k+1), то сумма 5k^2+5k четна (произведение любых двух последовательных чисел k,k+1 четно).

Переписав последнее уравнение следующим образом

2n^2-(5k^2+5k)=3,

замечаем противоречие – левая часть уравнения четна, правая – нет.

Уравнение не имеет решений в целых числах.

в) 

2x^2+5y^2=7xy;

2x^2+5y^2-5xy-2xy;

2x(x-y)-5y(x-y)=0;

(x-y)(2x-5y)=0;

x=y или 2x=5y;

x=y или x=5n, y=2n, n\in Z.

Ответ: 

а) (1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1);

б) решений нет;

в) (n;n), (5n;2n), n\in Z.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif