Задание №19 Т/Р №165 А. Ларина

Смотрите также  №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №165 А. Ларина

19. Многозначное число 123456789101112…9991000 получено в результате последовательной записи без пробелов тысячи первых натуральных чисел.

а) Какое наибольшее количество одинаковых цифр, стоящих рядом, содержится в записи этого числа?
б) Сколько всего цифр содержится в записи данного числа?
в) Какая цифра в записи этого числа стоит на 2016‐м месте?

Решение:

а) Покажем, что шести одинаковых цифр, стоящих рядом, не может содержаться в записи данного многозначного числа.

Начнем с большей части чисел – с трехзначных. Если допустить, что идет 6 подряд одинаковых цифр, то мы увидем в ряду два одинаковых трехзначных числа, – противоречие.

Среди двузначных (а также однозначных) чисел тем более не стоит искать 6 подряд идущих одинаковых цифр. На стыке однозначных/двузначных, двузначных/трехзначных и трехзначных/1000 мы, очевидно, не можем наблюдать 6 подряд идущих одинаковых цифр.

Пример с 5-ю подряд идущими цифрами: …777778…

Наибольшее количество одинаковых цифр, стоящих рядом, в записи данного числа – 5.

б) Разобьем  цифры исходного многозначного числа на группы и посчитаем количество цифр в каждой группе:

1;2;…9 (9 цифр)

10;11;…99 (90х2 цифр)

100;101;…999 (900х3 цифр)

1000 (4 цифры)

Итак, данное многозначное число содержит в записи 9+90х2+900х3+4=2893 цифр.

в) Первые 99 чисел займут 90х2+9=189 позиций.

Так как 2016=1827+189, при этом 1827=3х609, то нас интересует прежде, какое трехзначное число   будет стоять в ряду трехзначных чисел, начиная с 100,  на 609-м месте. Очевидно, это 708.

Итак, 8 в записи данного числа стоит на 2016‐м месте.

Ответ: а) 5; б) 2893; в) 8.