Задание №19 Т/Р №168 А. Ларина

Смотрите также  №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №168 А. Ларина 

19. Имеется пять палочек с длинами $2, 3, 4, 5, 6$.
а) Можно ли, используя все палочки, сложить равнобедренный треугольник?

б) Можно ли, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник?

в) Какой наименьшей площади можно сложить треугольник, используя все палочки? (Разламывать, палочки нельзя)

Решение:

а) Да, например, боковые стороны – $(2+6)$ и $(3+5)$ , основание – $4$. Причем для тройки $8,8,4$ выполняется неравенство треугольника.

б) Допустим, нам удалось, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник.

Периметр треугольника должен равняться $20$.

Пусть один из катетов – $x,$ второй – $y.$

Тогда гипотенуза – $\sqrt{x^2+y^2}$ с одной стороны, и $(20-x-y)$ – с другой.

Имеем

$x^2+y^2=(20-x-y)^2;$

$x^2+y^2=400+x^2+y^2-40x-40y+2xy;$

$20x+20y-xy=200;$

$20(x+y-10)=xy$  (*)

Так как гипотенуза больше катета, то $20-x-y>x$ и $20-x-y>y.$

Откуда

$y<20-2x$ и $x<20-2y;$

$x+y<40-2(x+y);$

$x+y\leq 13;$

$20(x+y-10)\leq 60$  (**)

Приходим к тому, что произведение катетов должно быть кратно $20$ (согласно (*)), при этом произведение – не больше $60$ (согласно ((**)).

1) Пусть $xy=20.$

Помним о том, что каждая сторона треугольника меньше полупериметра.

Катеты треугольника – $5;4$. Гипотенуза должна равняться $\sqrt{41}.$ Противоречие.

2) Пусть $xy=40.$

Помним об условии $x+y\leq 13$.

Катеты треугольника – $5;8$. Гипотенуза должна равняться $\sqrt{89}.$ Противоречие.

3) Пусть $xy=60.$

Помним об условии $x+y\leq 13$. Вариантов не находим.

Итак, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник нельзя.

в) Пусть $x,y,20-x-y$ – стороны треугольника, причем $x\leq y\leq 20-x-y.$

Тогда $2x\leq 20-y$ и $2y\leq 20-x$. Откуда $2(x+y)\leq 20-y+20-x,$ то есть $x+y\leq 13.$

Так как каждая сторона треугольника меньше полупериметра, то $20-x-y<10,$ откуда $x+y\geq 11.$

Итак, имеем: $11\leq x+y\leq 13.$

Несложно также заметить, что $2\leq x\leq 9.$

Площадь треугольника со сторонами $x,y, (20-x-y)$ – $\sqrt{10(10-x)(10-y)(x+y-10)}.$

Нам интересно, чтобы произведение $(10-x)(10-y)(x+y-10)$ было бы наименьшим из возможных.

Пусть $x+y=11.$  Тогда $(10-x)(10-y)(x+y-10)=11(10-x)(x-1).$

$f(x)=11(10-x)(x-1)$ – парабола с ветвями вниз,  наименьшее значение – $f(2)=f(9)$.

Возможно ли сложить треугольник со сторонами $2;9;9.$ Да. Его площадь – $4\sqrt5$.

Пусть $x+y=12.$  Тогда $(10-x)(10-y)(x+y-10)=12(10-x)(x-2).$

$f(x)=12(10-x)(x-2)$ – парабола с ветвями вниз, наименьшее значение  –  $f(3)=f(9)$.

Получается  треугольник со сторонами $3;7;5$, но не выполняется условие $x\leq y\leq 20-x-y.$

Пусть $x+y=13.$  Тогда $(10-x)(10-y)(x+y-10)=13(10-x)(x-3).$

$f(x)=13(10-x)(x-3)$ – парабола с ветвями вниз, наименьшее значение – $f(4)=f(9)$.

Получается  треугольник со сторонами $4;9;7$, но не выполняется условие $x\leq y\leq 20-x-y.$

Итак, наименьшая площадь треугольника из палочек – $4\sqrt5.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $4\sqrt5.$