Главная › 18 (С7) Числа, их свойства › Задание №19 Т/Р №168 А. Ларина

27 Окт 2016

Категория: 18 (С7) Числа, их свойстваТ/P A. Ларина

Задание №19 Т/Р №168 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-27 2016-10-26

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №168 А. Ларина

19. Имеется пять палочек с длинами $2, 3, 4, 5, 6$ .
а) Можно ли, используя все палочки, сложить равнобедренный треугольник?

б) Можно ли, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник?

в) Какой наименьшей площади можно сложить треугольник, используя все палочки? (Разламывать, палочки нельзя)

Решение:

а) Да, например, боковые стороны – $(2+6)$ и $(3+5)$ , основание – $4$ . Причем для тройки $8,8,4$ выполняется неравенство треугольника.

б) Допустим, нам удалось, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник.

Периметр треугольника должен равняться $20$ .

Пусть один из катетов – $x,$ второй – $y.$

Тогда гипотенуза – $\sqrt{x^2+y^2}$ с одной стороны, и $(20-x-y)$ – с другой.

Имеем

$x^2+y^2=(20-x-y)^2;$

$x^2+y^2=400+x^2+y^2-40x-40y+2xy;$

$20x+20y-xy=200;$

$20(x+y-10)=xy$ (*)

Так как гипотенуза больше катета, то $20-x-y>x$ и $20-x-y>y.$

Откуда

$y<20-2x$ и $x<20-2y;$

$x+y<40-2(x+y);$

$x+y\leq 13;$

$20(x+y-10)\leq 60$ (**)

Приходим к тому, что произведение катетов должно быть кратно $20$ (согласно (*)), при этом произведение – не больше $60$ (согласно ((**)).

1) Пусть $xy=20.$

Помним о том, что каждая сторона треугольника меньше полупериметра.

Катеты треугольника – $5;4$ . Гипотенуза должна равняться $\sqrt{41}.$ Противоречие.

2) Пусть $xy=40.$

Помним об условии $x+y\leq 13$ .

Катеты треугольника – $5;8$ . Гипотенуза должна равняться $\sqrt{89}.$ Противоречие.

3) Пусть $xy=60.$

Помним об условии $x+y\leq 13$ . Вариантов не находим.

Итак, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник нельзя.

в) Пусть $x,y,20-x-y$ – стороны треугольника, причем $x\leq y\leq 20-x-y.$

Тогда $2x\leq 20-y$ и $2y\leq 20-x$ . Откуда $2(x+y)\leq 20-y+20-x,$ то есть $x+y\leq 13.$

Так как каждая сторона треугольника меньше полупериметра, то $20-x-y<10,$ откуда $x+y\geq 11.$

Итак, имеем: $11\leq x+y\leq 13.$

Несложно также заметить, что $2\leq x\leq 9.$

Площадь треугольника со сторонами $x,y, (20-x-y)$ – $\sqrt{10(10-x)(10-y)(x+y-10)}.$

Нам интересно, чтобы произведение $(10-x)(10-y)(x+y-10)$ было бы наименьшим из возможных.

Пусть $x+y=11.$ Тогда $(10-x)(10-y)(x+y-10)=11(10-x)(x-1).$

$f(x)=11(10-x)(x-1)$ – парабола с ветвями вниз, наименьшее значение – $f(2)=f(9)$ .

Возможно ли сложить треугольник со сторонами $2;9;9.$ Да. Его площадь – $4\sqrt5$ .

Пусть $x+y=12.$ Тогда $(10-x)(10-y)(x+y-10)=12(10-x)(x-2).$

$f(x)=12(10-x)(x-2)$ – парабола с ветвями вниз, наименьшее значение – $f(3)=f(9)$ .

Получается треугольник со сторонами $3;7;5$ , но не выполняется условие $x\leq y\leq 20-x-y.$

Пусть $x+y=13.$ Тогда $(10-x)(10-y)(x+y-10)=13(10-x)(x-3).$

$f(x)=13(10-x)(x-3)$ – парабола с ветвями вниз, наименьшее значение – $f(4)=f(9)$ .

Получается треугольник со сторонами $4;9;7$ , но не выполняется условие $x\leq y\leq 20-x-y.$

Итак, наименьшая площадь треугольника из палочек – $4\sqrt5.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $4\sqrt5.$

Автор: egeMax | комментариев 10

Печать страницы

комментариев 10

Екатерина

2016-11-03 в 22:34

[ Ответить ]
egeMax

2016-11-03 в 22:39

[ Ответить ]
- Екатерина
  
  2016-11-03 в 22:49
  
  смайл выскочил случайно, извините
  
  [ Ответить ]
Екатерина

2016-11-03 в 22:40

почему сумма х и у не более 13?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-11-03 в 22:42
  
  Посмотрите на 3 строки выше той, что помечена (**)
  
  [ Ответить ]
Екатерина

2016-11-03 в 22:53

у меня получилось меньше, чем 13+1/3, что не так?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-11-03 в 22:54
  
  Все верно.
  А далее
  x и y – натуральные ведь…
  
  [ Ответить ]
Екатерина

2016-11-03 в 22:55

стороны выражены целыми числами, поэтому?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-11-03 в 22:56
  
  да
  
  [ Ответить ]
Екатерина

2016-11-03 в 23:03

Спасибо, прояснили)

[ Ответить ]

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (13)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (78)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 14 (С3) Неравенства (89)
- 15 (С4) Практич. задачи (71)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С6) Параметры* (79)
- 18 (С7) Числа, их свойства (38)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (60)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы