Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №168 А. Ларина
19. Имеется пять палочек с длинами .
а) Можно ли, используя все палочки, сложить равнобедренный треугольник?
б) Можно ли, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник?
в) Какой наименьшей площади можно сложить треугольник, используя все палочки? (Разламывать, палочки нельзя)
Решение:
а) Да, например, боковые стороны – и
, основание –
. Причем для тройки
выполняется неравенство треугольника.
б) Допустим, нам удалось, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник.
Периметр треугольника должен равняться .
Пусть один из катетов – второй –
Тогда гипотенуза – с одной стороны, и
– с другой.
Имеем
(*)
Так как гипотенуза больше катета, то и
Откуда
и
(**)
Приходим к тому, что произведение катетов должно быть кратно (согласно (*)), при этом произведение – не больше
(согласно ((**)).
1) Пусть
Помним о том, что каждая сторона треугольника меньше полупериметра.
Катеты треугольника – . Гипотенуза должна равняться
Противоречие.
2) Пусть
Помним об условии .
Катеты треугольника – . Гипотенуза должна равняться
Противоречие.
3) Пусть
Помним об условии . Вариантов не находим.
Итак, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник нельзя.
в) Пусть – стороны треугольника, причем
Тогда и
. Откуда
то есть
Так как каждая сторона треугольника меньше полупериметра, то откуда
Итак, имеем:
Несложно также заметить, что
Площадь треугольника со сторонами –
Нам интересно, чтобы произведение было бы наименьшим из возможных.
Пусть Тогда
– парабола с ветвями вниз, наименьшее значение –
.
Возможно ли сложить треугольник со сторонами Да. Его площадь –
.
Пусть Тогда
– парабола с ветвями вниз, наименьшее значение –
.
Получается треугольник со сторонами , но не выполняется условие
Пусть Тогда
– парабола с ветвями вниз, наименьшее значение –
.
Получается треугольник со сторонами , но не выполняется условие
Итак, наименьшая площадь треугольника из палочек –
Ответ: а) да; б) нет; в)
смайл выскочил случайно, извините
почему сумма х и у не более 13?
Посмотрите на 3 строки выше той, что помечена (**)
у меня получилось меньше, чем 13+1/3, что не так?
Все верно.
А далее
x и y – натуральные ведь…
стороны выражены целыми числами, поэтому?
да
Спасибо, прояснили)