Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №183 А. Ларина
19. Заданы числа: . Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы
a) в каждой группе сумма чисел делилась на .
б) в каждой группе сумма чисел делилась на .
в) сумма чисел в одной группе делилась на , сумма чисел в другой группе делилась на
, а сумма чисел в третьей группе делилась на
?
Решение:
a) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы в каждой группе сумма чисел делилась на нельзя. Ведь это бы означало, что сумма всех чисел кратна трем, а это не так.
б) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы в каждой группе сумма чисел делилась на можно.
Например, такие группы:
;
в) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы сумма чисел в одной группе делилась на , сумма чисел в другой группе делилась на
, а сумма чисел в третьей группе делилась на
нельзя.
Действительно, если допустить, что указанная возможность есть, то существуют некоторые натуральные числа такие что:
Замечаем, что, так как кратно
то и левая часть равенства кратна
Но поскольку равенство можно переписать так
то
сумма кратна
. Пусть
тогда
Для выполнения равенства необходимо, чтобы откуда
, а это невозможно.
Ответ: а) нет; б) да; в) нет.
Елена Юрьевна, СПАСИБО!
С интересом и пользой знакомлюсь с Вашими решениями!
Поправьте, пожалуйста, текст условия этой задачи – пункт в) частично задублировался.
Юрий, спасибо!
подправила!
Условие