Задание №19 Т/Р №183 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18  Тренировочной работы №183 А. Ларина 

19. Заданы числа: $1,2,3,..,100$. Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы

a) в каждой группе сумма чисел делилась на $3$.
б) в каждой группе сумма чисел делилась на $10$.
в) сумма чисел в одной группе делилась на $102$, сумма чисел в другой группе делилась на $203$, а сумма чисел в третьей группе делилась  на $304$?

Решение:

a) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы в каждой группе сумма чисел делилась на  $3$ нельзя. Ведь это бы означало, что сумма всех чисел кратна трем, а это не так.

$1+2+3+…+99+100=\frac{1+100}{2}\cdot 100=5050.$

б) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы в каждой группе сумма чисел делилась на  $10$ можно.

Например, такие группы:

$1+2+3+4=10$;

$5+6+19=30;$

$7+8+9+…+18+20+21+…+100=5010.$

в) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы сумма чисел в одной группе делилась на $102$, сумма чисел в другой группе делилась на $203$, а сумма чисел в третьей группе делилась на $304$ нельзя.

Действительно, если допустить, что указанная возможность есть, то существуют некоторые натуральные числа $m,n,k$ такие что:

$102m+203n+304k=5050.$

Замечаем, что, так как $5050$ кратно $101,$ то и левая часть равенства кратна $101.$

Но поскольку равенство можно переписать так

$101m+2\cdot 101n+3\cdot 101k+m+n+k=5050,$ то

сумма $m+n+k$ кратна $101$. Пусть $m+n+k=101q,$ тогда

$101m+2\cdot 101n+3\cdot 101k+101q=5050;$

$m+2n+3k+q=50;$

$(m+n+k)+n+2k+q=50;$

$102q+n+2k=50.$

Для выполнения равенства необходимо, чтобы $q=0,$ откуда $m+n+k=0$, а это невозможно.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.