Задание №19 Т/Р №183 А. Ларина

2017-02-09

Смотрите также №13№14№15№16№17№18  Тренировочной работы №183 А. Ларина 

19. Заданы числа: 1,2,3,..,100. Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы

a) в каждой группе сумма чисел делилась на 3.
б) в каждой группе сумма чисел делилась на 10.
в) сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась  на 304?

Решение:

a) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы в каждой группе сумма чисел делилась на  3 нельзя. Ведь это бы означало, что сумма всех чисел кратна трем, а это не так.

1+2+3+...+99+100=\frac{1+100}{2}\cdot 100=5050.

б) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы в каждой группе сумма чисел делилась на  10 можно.

Например, такие группы:

1+2+3+4=10;

5+6+19=30;

7+8+9+...+18+20+21+...+100=5010.

в) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304 нельзя.

Действительно, если допустить, что указанная возможность есть, то существуют некоторые натуральные числа m,n,k такие что:

102m+203n+304k=5050.

Замечаем, что, так как 5050 кратно 101, то и левая часть равенства кратна 101.

Но поскольку равенство можно переписать так

101m+2\cdot 101n+3\cdot 101k+m+n+k=5050, то

сумма m+n+k кратна 101. Пусть m+n+k=101q, тогда

101m+2\cdot 101n+3\cdot 101k+101q=5050;

m+2n+3k+q=50;

(m+n+k)+n+2k+q=50;

102q+n+2k=50.

Для выполнения равенства необходимо, чтобы q=0, откуда m+n+k=0, а это невозможно.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

Печать страницы
комментария 2
  1. Юрий

    Елена Юрьевна, СПАСИБО! //egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif
    С интересом и пользой знакомлюсь с Вашими решениями!
    Поправьте, пожалуйста, текст условия этой задачи – пункт в) частично задублировался.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Юрий, спасибо!//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif
      Условие //egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif подправила!

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

5 + 9 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif