Задание №19 Т/Р №183 А. Ларина

2023-06-17

Смотрите также №13№14№15№16№17№18  Тренировочной работы №183 А. Ларина 

19. Заданы числа: $1,2,3,..,100$. Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы

a) в каждой группе сумма чисел делилась на $3$.
б) в каждой группе сумма чисел делилась на $10$.
в) сумма чисел в одной группе делилась на $102$, сумма чисел в другой группе делилась на $203$, а сумма чисел в третьей группе делилась  на $304$?

Решение:

a) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы в каждой группе сумма чисел делилась на  $3$ нельзя. Ведь это бы означало, что сумма всех чисел кратна трем, а это не так.

$1+2+3+…+99+100=\frac{1+100}{2}\cdot 100=5050.$

б) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы в каждой группе сумма чисел делилась на  $10$ можно.

Например, такие группы:

$1+2+3+4=10$;

$5+6+19=30;$

$7+8+9+…+18+20+21+…+100=5010.$

в) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы сумма чисел в одной группе делилась на $102$, сумма чисел в другой группе делилась на $203$, а сумма чисел в третьей группе делилась на $304$ нельзя.

Действительно, если допустить, что указанная возможность есть, то существуют некоторые натуральные числа $m,n,k$ такие что:

$102m+203n+304k=5050.$

Замечаем, что, так как $5050$ кратно $101,$ то и левая часть равенства кратна $101.$

Но поскольку равенство можно переписать так

$101m+2\cdot 101n+3\cdot 101k+m+n+k=5050,$ то

сумма $m+n+k$ кратна $101$. Пусть $m+n+k=101q,$ тогда

$101m+2\cdot 101n+3\cdot 101k+101q=5050;$

$m+2n+3k+q=50;$

$(m+n+k)+n+2k+q=50;$

$102q+n+2k=50.$

Для выполнения равенства необходимо, чтобы $q=0,$ откуда $m+n+k=0$, а это невозможно.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

Печать страницы
комментария 2
  1. Юрий

    Елена Юрьевна, СПАСИБО! https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif
    С интересом и пользой знакомлюсь с Вашими решениями!
    Поправьте, пожалуйста, текст условия этой задачи – пункт в) частично задублировался.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Юрий, спасибо!https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif
      Условие https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif подправила!

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




1 × четыре =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif