Задание №19 Т/Р №183 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18  Тренировочной работы №183 А. Ларина 

19. Заданы числа: . Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы

a) в каждой группе сумма чисел делилась на .
б) в каждой группе сумма чисел делилась на .
в) сумма чисел в одной группе делилась на , сумма чисел в другой группе делилась на , а сумма чисел в третьей группе делилась  на ?

Решение:

a) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы в каждой группе сумма чисел делилась на   нельзя. Ведь это бы означало, что сумма всех чисел кратна трем, а это не так.

б) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы в каждой группе сумма чисел делилась на   можно.

Например, такие группы:

;

в) Разбить указанные числа на три группы так, чтобы сумма чисел в одной группе делилась на , сумма чисел в другой группе делилась на , а сумма чисел в третьей группе делилась на нельзя.

Действительно, если допустить, что указанная возможность есть, то существуют некоторые натуральные числа такие что:

Замечаем, что, так как кратно то и левая часть равенства кратна

Но поскольку равенство можно переписать так

то

сумма кратна . Пусть тогда

Для выполнения равенства необходимо, чтобы откуда , а это невозможно.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.