Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №196 А. Ларина.
19. Василий Кузякин возвращался из санатория домой на поезде. На перроне одной из ж/д станций продавали варёных раков: больших – по $200$ руб. за штуку, средних – по $150$ руб. за штуку и маленьких – по $100$ руб. за штуку. Василий решил потратить на покупку раков последние пять тысяч рублей. Для себя он определил, что непременно купит и больших, и средних, и маленьких, причём их количества не будут отличаться более, чем на $2$.
a) Сможет ли Василий при таких условиях купить раков ровно на $5000$ рублей?
б) Сможет ли Василий при таких условиях купить $14$ больших раков?
в) Какое наибольшее число раков сможет купить Василий при таких условиях?
Решение:
a) Пусть Василий купил $x$ штук больших раков, $y$ штук средних и $z$ штук маленьких.
Тогда
$200x+150y+100z=5000$
или
$4x+3y+2z=100.$
При этом $|x-y|\leq 2,|x-z|\leq 2, |z-y|\leq 2.$
Значения $x=11,y=12,z=10$ удовлетворяют указанным требованиям.
Да, Василий может купить раков при указанных условиях ровно на $5000$ рублей.
б) Допустим, Василий сможет купить $14$ больших раков при указанных условиях.
Тогда
$3y+2z\leq 44,$
откуда
$y\leq \frac{44-2z}{3}.$
С учетом того, что $y\geq z-2$, получаем:
$z-2\leq \frac{44-2z}{3};$
$z\leq 10.$
Видим, что $z$ будет отличаться от $x$ более чем на 2, а это противоречит условию.
Нет, Василий не сможет купить $14$ раков при заданных условиях.
в) Имеем
$4x+3y+2z\leq 100.$
С учетом
$z-x\leq 2,$
получаем
$3x+3y+3z\leq 102;$
$x+y+z\leq 34;$
Василий может купить $10$ больших раков и по $12$ средних и мелких, тогда общее количество раков будет максимальным, равным $34.$
Ответ: а) да; б) нет; в) $34.$
Добавить комментарий