Задание №19 Т/Р №197 А. Ларина

2017-05-14

Смотрите также №13; №14№15№16; №17№18  Тренировочной работы №197 А. Ларина.

19. а) Найдите значение выражения tg1^{\circ}\cdot tg2^{\circ}\cdot tg3^{\circ}\cdot ...\cdot tg88^{\circ}\cdot tg89^{\circ}.

б) Докажите, что tg40^{\circ}+tg55^{\circ}+tg85^{\circ}=tg40^{\circ}\cdot tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ}.

в) Найдите значение выражения (1+tg1^{\circ})\cdot (1+tg2^{\circ})\cdot ...\cdot (1+tg44^{\circ}).

Решение:

a)

tg1^{\circ}\cdot tg2^{\circ}\cdot tg3^{\circ}\cdot ...\cdot tg88^{\circ}\cdot tg89^{\circ}=

=tg1^{\circ}\cdot tg2^{\circ}\cdot tg3^{\circ}\cdot ...\cdot tg44^{\circ}\cdot tg45^{\circ}\cdot tg(90^{\circ}-44^{\circ})\cdot...\cdot tg(90^{\circ}-2^{\circ})\cdot tg(90^{\circ}-1^{\circ})=

=tg1^{\circ}\cdot tg2^{\circ}\cdot tg3^{\circ}\cdot ...\cdot tg44^{\circ}\cdot 1\cdot ctg44^{\circ}\cdot...\cdot ctg2^{\circ}\cdot ctg1^{\circ}=

=(tg1^{\circ}\cdot ctg1^{\circ})\cdot (tg2^{\circ}\cdot ctg2^{\circ})\cdot  ...\cdot (tg44^{\circ}\cdot ctg44^{\circ})=1.

б) Покажем, что

tg40^{\circ}+tg55^{\circ}+tg85^{\circ}-tg40^{\circ}\cdot tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ}=0.

tg40^{\circ}(1-tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ})+tg55^{\circ}+tg85^{\circ}=

=(1-tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ})(tg40^{\circ}+\frac{tg55^{\circ}+tg85^{\circ}}{1-tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ}})=

=(1-tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ})(tg40^{\circ}+tg140^{\circ}})=

=(1-tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ})(tg40^{\circ}+tg(180^{\circ}-40^{\circ}))=

=(1-tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ})(tg40^{\circ}-tg40^{\circ})=0.

Что и требовалось доказать.

в) 

(1+tg1^{\circ})\cdot (1+tg2^{\circ})\cdot ...\cdot (1+tg44^{\circ})=

=(\frac{cos1^{\circ}}{cos1^{\circ}}+\frac{sin1^{\circ}}{cos1^{\circ}})(\frac{cos2^{\circ}}{cos2^{\circ}}+\frac{sin2^{\circ}}{cos2^{\circ}})\cdot ...\cdot (\frac{cos44^{\circ}}{cos44^{\circ}}+\frac{sin44^{\circ}}{cos44^{\circ}})=

=\frac{cos1^{\circ}+sin1^{\circ}}{cos1^{\circ}}\cdot \frac{cos2^{\circ}+sin2^{\circ}}{cos2^{\circ}}\cdot ...\cdot\frac{cos44^{\circ}+sin44^{\circ}}{cos44^{\circ}}=

=\frac{\frac{\sqrt2}{2}cos1^{\circ}+\frac{\sqrt2}{2}sin1^{\circ}}{\frac{\sqrt2}{2}cos1^{\circ}}\cdot \frac{\frac{\sqrt2}{2}cos2^{\circ}+\frac{\sqrt2}{2}sin2^{\circ}}{\frac{\sqrt2}{2}cos2^{\circ}}\cdot ...\cdot \frac{\frac{\sqrt2}{2}cos44^{\circ}+\frac{\sqrt2}{2}sin44^{\circ}}{\frac{\sqrt2}{2}cos44^{\circ}}=

=\frac{cos(1^{\circ}-45^{\circ})}{\frac{\sqrt2}{2}cos1^{\circ}}\cdot \frac{cos(2^{\circ}-45^{\circ})}{\frac{\sqrt2}{2}cos2^{\circ}}\cdot ...\cdot \frac{cos(44^{\circ}-45^{\circ})}{\frac{\sqrt2}{2}cos44^{\circ}}=

=\frac{\sqrt2\cdot cos44^{\circ}}{cos1^{\circ}}\cdot \frac{\sqrt2\cdot cos43^{\circ}}{cos2^{\circ}}\cdot ...\cdot \frac{\sqrt2\cdot cos1^{\circ}}{cos44^{\circ}}=(\sqrt2)^{44}=2^{22}.

Ответ: а) 1б) 2^{22}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

19 + 18 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif