Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №202 А. Ларина.
19. На доске записаны чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно
, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно
.
а) Может ли среднее арифметическое всех чисел оказаться равным
?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел оказаться меньше, чем
?
в) Найдите наименьшее возможное значение выражения .
Решение:
a) Среднее арифметическое всех записанных чисел –
Пусть первая группа – {}, вторая – {
}.
Тогда
То есть среднее арифметическое всех чисел оказалось равным
.
б) Пусть первая группа – {}, вторая – {
}.
Тогда
То есть среднее арифметическое всех чисел оказалось меньше, чем
.
в) Несложно заметить, что если разделить числа на две равные по количеству чисел группы, то . Пусть для определенности количество чисел первой группы меньше количества чисел второй группы.
Пусть в первую группу попало чисел, тогда во вторую –
(
).
Согласно условию .
Далее,
Заметим,
Очевидно, Тогда
Далее,
Итак, причем
, когда
Наименьшее значение принимает в случае, когда в первую группу попадает одна единица, во вторую – все остальные исходные числа.
Ответ: a) да; б) да; в)
* * *
Задание, аналогичное данному, можно посмотреть здесь.
Добавить комментарий