Задание №19 Т/Р №202 А. Ларина

Елена Репина 2017-09-14 2017-09-14

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

19. На доске записаны $20$ чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$ , а среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$ .

а) Может ли среднее арифметическое всех $20$ чисел оказаться равным $\frac{A+B}{2}$ ?
б) Может ли среднее арифметическое всех $20$ чисел оказаться меньше, чем $\frac{A+B}{2}$ ?

в) Найдите наименьшее возможное значение выражения $\frac{A+B}{2}$ .

Решение:

a) Среднее арифметическое всех записанных чисел – $\frac{1\cdot 5+2\cdot 5+3\cdot 5+4\cdot 5}{20}=2,5.$

Пусть первая группа – { $1;1;1;1;1;4;4;4;4;4$ }, вторая – { $2;2;2;2;2;3;3;3;3;3$ }.

Тогда

$A=\frac{1\cdot 5+4\cdot 5}{10}=2,5;$

$B=\frac{2\cdot 5+3\cdot 5}{10}=2,5;$

$\frac{A+B}{2}=2,5.$

То есть среднее арифметическое всех $20$ чисел оказалось равным $\frac{A+B}{2}$ .

б) Пусть первая группа – { $1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;3;3;3;3;3$ }, вторая – { $4;4;4;4;4$ }.

Тогда

$A=\frac{1\cdot 5+2\cdot 5+3\cdot 5}{15}=2;$

$B=\frac{4\cdot 5}{5}=4;$

$\frac{A+B}{2}=3.$

То есть среднее арифметическое всех $20$ чисел оказалось меньше, чем $\frac{A+B}{2}$ .

в) Несложно заметить, что если разделить числа на две равные по количеству чисел группы, то $\frac{A+B}{2}=2,5$ . Пусть для определенности количество чисел первой группы меньше количества чисел второй группы.