Задание №19 Т/Р №202 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

19. На доске записаны $20$ чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$.

Решение:

a) Среднее арифметическое всех записанных чисел – $\frac{1\cdot 5+2\cdot 5+3\cdot 5+4\cdot 5}{20}=2,5.$

Пусть первая группа – {$1;1;1;1;1;4;4;4;4;4$}, вторая – {$2;2;2;2;2;3;3;3;3;3$}.

Тогда

$A=\frac{1\cdot 5+4\cdot 5}{10}=2,5;$

$B=\frac{2\cdot 5+3\cdot 5}{10}=2,5;$

$\frac{A+B}{2}=2,5.$

То есть среднее арифметическое всех $20$ чисел оказалось равным $\frac{A+B}{2}$.

б) Пусть первая группа – {$1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;3;3;3;3;3$}, вторая – {$4;4;4;4;4$}.

Тогда

$A=\frac{1\cdot 5+2\cdot 5+3\cdot 5}{15}=2;$

$B=\frac{4\cdot 5}{5}=4;$

$\frac{A+B}{2}=3.$

То есть среднее арифметическое всех $20$ чисел оказалось меньше, чем $\frac{A+B}{2}$.

в) Несложно заметить, что если разделить числа на две равные по количеству чисел группы, то $\frac{A+B}{2}=2,5$. Пусть для определенности количество чисел первой группы меньше количества чисел второй группы.

Пусть в первую группу попало $n$ чисел, тогда во вторую – $20-n$ ($n\in [1;9]$).

Согласно условию $nA+(20-n)B=50$.

$B=\frac{50-nA}{20-n}.$

Далее,

$\frac{A+B}{2}=\frac{A+\frac{50-nA}{20-n}}{2}=\frac{20A-nA+50-nA}{2(20-n)}=\frac{A(20-2n)+50}{2(20-n)}=\frac{A(10-n)+25}{20-n}.$

Заметим, $A(10-n)>0.$

Очевидно, $A\geq 1.$ Тогда

$\frac{A+B}{2}\geq \frac{1\cdot (10-n)+25}{20-n}=\frac{20-n+15}{20-n}=1+\frac{15}{20-n}.$

 Далее,

$1+\frac{15}{20-n}\geq 1+\frac{15}{20-1}=1+\frac{15}{19}=1\frac{15}{19}.$

Итак, $\frac{A+B}{2}\geq 1\frac{15}{19},$ причем $\frac{A+B}{2}=1\frac{15}{19}$, когда $n=1,A=1.$

Наименьшее значение $\frac{A+B}{2}$ принимает в случае, когда в первую группу попадает одна единица, во вторую – все остальные исходные числа.

Ответ: a) да; б) да; в) $1\frac{15}{19}.$

* * *

Задание, аналогичное данному, можно посмотреть здесь.