Задание №19 Т/Р №202 А. Ларина

2017-09-14

Смотрите также №13; №14№15№16; №17№18 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

19. На доске записаны 20 чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно B.

а) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться равным \frac{A+B}{2}?
б) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться меньше, чем \frac{A+B}{2}?

в) Найдите наименьшее возможное значение выражения \frac{A+B}{2}.

Решение:

a) Среднее арифметическое всех записанных чисел – \frac{1\cdot 5+2\cdot 5+3\cdot 5+4\cdot 5}{20}=2,5.

Пусть первая группа – {1;1;1;1;1;4;4;4;4;4}, вторая – {2;2;2;2;2;3;3;3;3;3}.

Тогда

A=\frac{1\cdot 5+4\cdot 5}{10}=2,5;

B=\frac{2\cdot 5+3\cdot 5}{10}=2,5;

\frac{A+B}{2}=2,5.

То есть среднее арифметическое всех 20 чисел оказалось равным \frac{A+B}{2}.

б) Пусть первая группа – {1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;3;3;3;3;3}, вторая – {4;4;4;4;4}.

Тогда

A=\frac{1\cdot 5+2\cdot 5+3\cdot 5}{15}=2;

B=\frac{4\cdot 5}{5}=4;

\frac{A+B}{2}=3.

То есть среднее арифметическое всех 20 чисел оказалось меньше, чем \frac{A+B}{2}.

в) Несложно заметить, что если разделить числа на две равные по количеству чисел группы, то \frac{A+B}{2}=2,5. Пусть для определенности количество чисел первой группы меньше количества чисел второй группы.

Пусть в первую группу попало n чисел, тогда во вторую – 20-n (n\in [1;9]).

Согласно условию nA+(20-n)B=50.

B=\frac{50-nA}{20-n}.

Далее,

\frac{A+B}{2}=\frac{A+\frac{50-nA}{20-n}}{2}=\frac{20A-nA+50-nA}{2(20-n)}=\frac{A(20-2n)+50}{2(20-n)}=\frac{A(10-n)+25}{20-n}.

Заметим, A(10-n)>0.

Очевидно, A\geq 1. Тогда

\frac{A+B}{2}\geq \frac{1\cdot (10-n)+25}{20-n}=\frac{20-n+15}{20-n}=1+\frac{15}{20-n}.

 Далее,

1+\frac{15}{20-n}\geq 1+\frac{15}{20-1}=1+\frac{15}{19}=1\frac{15}{19}.

Итак, \frac{A+B}{2}\geq 1\frac{15}{19}, причем \frac{A+B}{2}=1\frac{15}{19}, когда n=1,A=1.

Наименьшее значение \frac{A+B}{2} принимает в случае, когда в первую группу попадает одна единица, во вторую – все остальные исходные числа.

Ответ: a) да; б) да; в) 1\frac{15}{19}.

* * *

Задание, аналогичное данному, можно посмотреть здесь.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

3 + семь =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif