Задание №19 Т/Р №209 А. Ларина

2017-11-01

Смотрите также №13; №14№15№16; №17№18 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

19. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение:

a) Пусть S_1,S_2,S_3,S_4 – суммы чисел в группах.

При сложении шести указанных модулей в результате может получиться ноль только в одном случае, – когда все шесть модулей – нули.

Поэтому |S_1-S_2|=|S_1-S_3|=|S_1-S_4|=|S_2-S_3|=|S_2-S_4|=|S_3-S_4|=0, что означает, что S_1=S_2=S_3=S_4.

Но тогда 4S_1=1+2+3...+12, то есть 4S_1=78 или 2S_1=39, что невозможно для натурального S_1.

Нуля в результате указанных действий получиться не может.

б) При сложении шести модулей в результате может получиться единица только в одном случае, – когда пять модулей – нули и один модуль – единица. Это будет означать, что только одно из значений |S_1-S_2|,|S_1-S_3|,|S_1-S_4|,|S_2-S_3|,|S_2-S_4|,|S_3-S_4| – единица, а остальные – ноль.

Но это невозможно, – если один из модулей – единица, то это повлечет за собой и то, что хотя бы три разности из S_1-S_2,S_1-S_3,S_1-S_4,S_2-S_3,S_2-S_4,S_3-S_4 – не нули, то еcть |S_1-S_2|+|S_1-S_3|+...+|S_3-S_4|\geq 3.

Единицы в результате указанных действий получиться не может.

в) Пусть для удобства S_1\leq S_2\leq S_3\leq S_4.

Как мы уже показали, сумма модулей S разностей |S_1-S_2|,|S_1-S_3|,|S_1-S_4|,|S_2-S_3|,|S_2-S_4|,|S_3-S_4| не меньше трех.

Может ли S=3?

S=S_2-S_1+S_3-S_1+S_4-S_1+S_3-S_2+S_4-S_2+S_4-S_3=3(S_4-S_3)+4(S_3-S_2)+3(S_2-S_1).

Если S=3, то либо

1) S_3=S_2=S_1 и S_4=S_3+1,

либо

2) S_4=S_3=S_2 и S_2=S_1+1.

В первом случае S_1+S_2+S_3+S_4=4S_3+1=78, что невозможно.

Во втором случае S_1+S_2+S_3+S_4=4S_1+1=78, что невозможно.

Если S=4, то можно подобрать, например, следующие группы:

\left \{1;6;12;  \right \},\left \{2;7;11;  \right \},\left \{3;8;9;  \right \},\left \{4;5;10;  \right \}.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

четыре × 5 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif