Задание №19 Т/Р №209 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

19. Натуральные числа от $1$ до $12$ разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные $6$ чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться $0$?
б) Может ли в результате получиться $1$?
в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение:

a) Пусть $S_1,S_2,S_3,S_4$ – суммы чисел в группах.

При сложении шести указанных модулей в результате может получиться ноль только в одном случае, – когда все шесть модулей – нули.

Поэтому $|S_1-S_2|=|S_1-S_3|=|S_1-S_4|=|S_2-S_3|=|S_2-S_4|=|S_3-S_4|=0,$ что означает, что $S_1=S_2=S_3=S_4.$

Но тогда $4S_1=1+2+3…+12,$ то есть $4S_1=78$ или $2S_1=39,$ что невозможно для натурального $S_1.$

Нуля в результате указанных действий получиться не может.

б) При сложении шести модулей в результате может получиться единица только в одном случае, – когда пять модулей – нули и один модуль – единица. Это будет означать, что только одно из значений $|S_1-S_2|,|S_1-S_3|,|S_1-S_4|,|S_2-S_3|,|S_2-S_4|,|S_3-S_4|$ – единица, а остальные – ноль.

Но это невозможно, – если один из модулей – единица, то это повлечет за собой и то, что хотя бы три разности из $S_1-S_2,S_1-S_3,S_1-S_4,S_2-S_3,S_2-S_4,S_3-S_4$ – не нули, то еcть $|S_1-S_2|+|S_1-S_3|+…+|S_3-S_4|\geq 3.$

Единицы в результате указанных действий получиться не может.

в) Пусть для удобства $S_1\leq S_2\leq S_3\leq S_4.$

Как мы уже показали, сумма модулей $S$ разностей $|S_1-S_2|,|S_1-S_3|,|S_1-S_4|,|S_2-S_3|,|S_2-S_4|,|S_3-S_4|$ не меньше трех.

Может ли $S=3$?

$S=S_2-S_1+S_3-S_1+S_4-S_1+S_3-S_2+S_4-S_2+S_4-S_3=$
$=3(S_4-S_3)+4(S_3-S_2)+3(S_2-S_1).$

Если $S=3,$ то либо

1) $S_3=S_2=S_1$ и $S_4=S_3+1,$

либо

2) $S_4=S_3=S_2$ и $S_2=S_1+1.$

В первом случае $S_1+S_2+S_3+S_4=4S_3+1=78,$ что невозможно.

Во втором случае $S_1+S_2+S_3+S_4=4S_1+1=78,$ что невозможно.

Если $S=4,$ то можно подобрать, например, следующие группы:

$\left \{1;6;12;  \right \},\left \{2;7;11;  \right \},\left \{3;8;9;  \right \},\left \{4;5;10;  \right \}.$

Ответ: а) нет; б) нет; в) $4.$