Задание №19 Т/Р №209 А. Ларина

Елена Репина 2017-11-02 2017-11-01

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

19. Натуральные числа от $1$ до $12$ разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные $6$ чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться $0$ ?
б) Может ли в результате получиться $1$ ?
в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение:

a) Пусть $S_1,S_2,S_3,S_4$ – суммы чисел в группах.

При сложении шести указанных модулей в результате может получиться ноль только в одном случае, – когда все шесть модулей – нули.

Поэтому $|S_1-S_2|=|S_1-S_3|=|S_1-S_4|=|S_2-S_3|=|S_2-S_4|=|S_3-S_4|=0,$ что означает, что $S_1=S_2=S_3=S_4.$

Но тогда $4S_1=1+2+3...+12,$ то есть $4S_1=78$ или $2S_1=39,$ что невозможно для натурального $S_1.$

Нуля в результате указанных действий получиться не может.

б) При сложении шести модулей в результате может получиться единица только в одном случае, – когда пять модулей – нули и один модуль – единица. Это будет означать, что только одно из значений $|S_1-S_2|,|S_1-S_3|,|S_1-S_4|,|S_2-S_3|,|S_2-S_4|,|S_3-S_4|$ – единица, а остальные – ноль.

Но это невозможно, – если один из модулей – единица, то это повлечет за собой и то, что хотя бы три разности из $S_1-S_2,S_1-S_3,S_1-S_4,S_2-S_3,S_2-S_4,S_3-S_4$ – не нули, то еcть $|S_1-S_2|+|S_1-S_3|+...+|S_3-S_4|\geq 3.$