Задание №19 Т/Р №210 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

19. На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной . В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число заменили на число ).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в раза меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:

a) Пусть – сумма цифр десятков записанных на листочке чисел, а – сумма цифр единиц чисел.

Тогда

  (*) 

После того, как  в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры сумма получившихся чисел оказалась  равна то есть

Тогда

 (**)

Составим и решим систему из уравнений  (*), (**):

Пусть тогда

То есть исходные числа таковы:

(число в ряду прописано раз).

б) Допусти, сумма получившихся чисел может быть ровно в раза меньше, чем сумма исходных чисел.

Тогда

Откуда

, что невозможно, так как не делиться нацело на

Cумма получившихся чисел не может быть ровно в раза меньше, чем сумма исходных чисел.

в) Имея найдем наименьшее значение   обозначив его за

или

Если то что невозможно.

Если то что невозможно.

Если то что невозможно.

Если то

Пусть тогда Имеем ряд чисел  (число прописано в ряду раз).

Итак,

Ответ: а) ( – раз); б) нет; в)