Задание №19 Т/Р №210 А. Ларина

2017-11-08

Смотрите также №13№14№15№16; №17№18 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

19. На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1485. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 23 заменили на число 32).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 9 раза меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:

a) Пусть a – сумма цифр десятков записанных на листочке чисел, а b – сумма цифр единиц чисел.

Тогда

10a+b=1485   (*) 

После того, как  в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры сумма получившихся чисел оказалась  равна \frac{1485}{3}, то есть 495.

Тогда

10b+a=495  (**)

Составим и решим систему из уравнений  (*), (**):

\begin{cases} 10a+b=1485,& &10b+a=495;& \end{cases}

\begin{cases} a=b+110,& &10b+a=495;& \end{cases}

\begin{cases} a=145,& &b=35;& \end{cases}

Пусть тогда a=9\cdot 16+1, b=2\cdot 16+3.

То есть исходные числа таковы:

92;92;...;92;13

(число 92 в ряду прописано 16 раз).

б) Допусти, сумма получившихся чисел может быть ровно в 9 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

Тогда

\begin{cases} 10a+b=1485,& &10b+a=165;& \end{cases}

Откуда

9a-9b=1320, что невозможно, так как 1320 не делиться нацело на 9.

Cумма получившихся чисел не может быть ровно в 9 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

в) Имея 10a+b=1485, найдем наименьшее значение  10b+a, обозначив его за m.

Заметим,

11(a+b)=1485+m   и   9(a-b)=1485-m;

a+b=135+\frac{m}{11}   и   a-b=165-\frac{m}{9}.

Откуда

2a=300+\frac{m}{11}-\frac{m}{9}.

\frac{m}{99}=150-a.

Если m=99, то a=149,b=-5, что невозможно.

Если m=2\cdot 99, то a=148,b=5, что невозможно.

Если m=3\cdot 99, то a=147,b=15, что невозможно.

Если m=4\cdot 99, то a=146,b=25.

Пусть тогда a=9\cdot 16+2, b=1\cdot 16+9. Имеем ряд чисел 91;91;...91;29  (число 91 прописано в ряду 16 раз).

Итак, m=396.

Ответ: а) 92;92;...;92;13 (9216 раз); б) нет; в) 396.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

один × один =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif