Задание №19 Т/Р №210 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

19. На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной $1485$. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число $23$ заменили на число $32$).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в $3$ раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в $9$ раза меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:

a) Пусть $a$ – сумма цифр десятков записанных на листочке чисел, а $b$ – сумма цифр единиц чисел.

Тогда

$10a+b=1485$   (*) 

После того, как  в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры сумма получившихся чисел оказалась  равна $\frac{1485}{3},$ то есть $495.$

Тогда

$10b+a=495$  (**)

Составим и решим систему из уравнений  (*), (**):

$\begin{cases}
10a+b=1485,&
&10b+a=495;&
\end{cases}$

$\begin{cases}
a=b+110,&
&10b+a=495;&
\end{cases}$

$\begin{cases}
a=145,&
&b=35;&
\end{cases}$

Пусть тогда $a=9\cdot 16+1,$ $b=2\cdot 16+3.$

То есть исходные числа таковы:

$92;92;…;92;13$

(число $92$ в ряду прописано $16$ раз).

б) Допусти, сумма получившихся чисел может быть ровно в $9$ раза меньше, чем сумма исходных чисел.

Тогда

$\begin{cases}
10a+b=1485,&
&10b+a=165;&
\end{cases}$

Откуда

$9a-9b=1320$, что невозможно, так как $1320$ не делиться нацело на $9.$

Cумма получившихся чисел не может быть ровно в $9$ раза меньше, чем сумма исходных чисел.

в) Имея $10a+b=1485,$ найдем наименьшее значение  $10b+a,$ обозначив его за $m.$

$m=10b+a=10(1485-10a)+a=14850-99a$

или

$\frac{m}{99}=150-a.$

Если $m=99,$ то $a=149,b=-5,$ что невозможно.

Если $m=2\cdot 99,$ то $a=148,b=5,$ что невозможно.

Если $m=3\cdot 99,$ то $a=147,b=15,$ что невозможно.

Если $m=4\cdot 99,$ то $a=146,b=25.$

Пусть тогда $a=9\cdot 16+2,$ $b=1\cdot 16+9.$ Имеем ряд чисел $91;91;…91;29$  (число $91$ прописано в ряду $16$ раз).

Итак, $m=396.$

Ответ: а) $92;92;…;92;13$ ($92$ – $16$ раз); б) нет; в) $396.$