Задание №19 Т/Р №212 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

19. Даны $n$ ( $n\geq 3$ ) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех данных чисел равняться $22$?
б) Может ли сумма всех данных чисел равняться $23$?

в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна $48$.

Решение:

Пусть {$a_n$} – арифметическая прогрессия.

а)

Согласно условию

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=22.$

Или

$(a_1+a_n)\cdot n=4\cdot 11.$

Пусть $n=4,$ тогда $a_1+a_4=11.$

Сумма чисел арифметической прогрессии $1;4;7;10$ равна $22.$

б) Допустим, сумма всех данных чисел равна $23$.

Тогда

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=23.$

Или

$(a_1+a_n)\cdot n=2\cdot 23.$

Так как $23$ – простое число и по условию $n\geq 3,$ то последнее равенство могло бы выполняться при $n=23.$ Но тогда $a_1+a_{23}=2,$ что невозможно.

в) Имеем

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=48;$

$(a_1+a_n)\cdot n=2^5\cdot 3.$

Заметим, что

$a_1+a_2+…+a_n\geq 1+2+…+n=\frac{(n+1)n}{2}.$

Поэтому

$n^2+n\leq 96,$

откуда

$n\leq 9.$

Тогда возможны лишь следующие варианты среди прочих:

 $\begin{cases}
n=3,&
&a_1+a_3=32;&
\end{cases}$ или $\begin{cases}
n=4,&
&a_1+a_4=24;&
\end{cases}$ или $\begin{cases}
n=6,&
&a_1+a_6=16;&
\end{cases}$ или $\begin{cases}
n=8,&
&a_1+a_8=12;&
\end{cases}$

В первом случае, когда $n=3$ и $a_1+a_3=32,$  на роль арифметической прогрессии, сумма которой $48,$ подходит ряд чисел $14;16;18.$

Во втором случае, когда  $n=4$ и $a_1+a_4=24,$ на роль арифметической прогрессии, сумма которой $48,$ подходит ряд чисел $3;9;15;21.$

В третьем случае, когда  $n=6$ и $a_1+a_6=16,$ на роль арифметической прогрессии, сумма которой $48,$ подходит ряд чисел $3;5;7;9;11;13.$

В четвертом случае, когда  $n=8$ и $a_1+a_8=12,$ подобрать подходящие числа $a_1,a_2,…,a_8$ нам не удастся.

Действительно,

$\frac{2a_1+7d}{2}\cdot 8=48$ ($d$ – разность прогрессии),

откуда

$2a_1+7d=12,$

что означает, что $7d$  кратно $2,$ то есть $d=2m,m\in N.$

Это бы означало, что $a_1+7m=7,$ что невозможно для натуральных чисел $a_1,m.$

Итак, всевозможные значения $n$ при заданных условиях – это $3;4;6.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $3;4;6.$