Задание №19 Т/Р №212 А. Ларина

Елена Репина 2017-11-23 2017-11-21

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

19. Даны $n$ ( $n\geq 3$ ) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех данных чисел равняться $22$ ?
б) Может ли сумма всех данных чисел равняться $23$ ?

в) Найдите все возможные значения $n$ , если сумма всех данных чисел равна $48$ .

Решение:

Пусть { $a_n$ } – арифметическая прогрессия.

а)

Согласно условию

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=22.$

Или

$(a_1+a_n)\cdot n=4\cdot 11.$

Пусть $n=4,$ тогда $a_1+a_4=11.$

Сумма чисел арифметической прогрессии $1;4;7;10$ равна $22.$

б) Допустим, сумма всех данных чисел равна $23$ .

Тогда

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=23.$

Или

$(a_1+a_n)\cdot n=2\cdot 23.$

Так как $23$ – простое число и по условию $n\geq 3,$ то последнее равенство могло бы выполняться при $n=23.$ Но тогда $a_1+a_{23}=2,$ что невозможно.

в) Имеем

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=48;$

$(a_1+a_n)\cdot n=2^5\cdot 3.$

Заметим, что

$a_1+a_2+...+a_n\geq 1+2+...+n=\frac{(n+1)n}{2}.$

Поэтому

$n^2+n\leq 96,$

откуда

$n\leq 9.$

Тогда возможны лишь следующие варианты среди прочих:

$\begin{cases} n=3,& &a_1+a_3=32;& \end{cases}$ или $\begin{cases} n=4,& &a_1+a_4=24;& \end{cases}$ или $\begin{cases} n=6,& &a_1+a_6=16;& \end{cases}$ или $\begin{cases} n=8,& &a_1+a_8=12;& \end{cases}$