Задание №19 Т/Р №212 А. Ларина

2017-11-21

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№18 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

19. Даны n ( n\geq 3 ) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех данных чисел равняться 22?
б) Может ли сумма всех данных чисел равняться 23?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 48.

Решение:

Пусть {a_n} – арифметическая прогрессия.

а)

Согласно условию

\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=22.

Или

(a_1+a_n)\cdot n=4\cdot 11.

Пусть n=4, тогда a_1+a_4=11.

Сумма чисел арифметической прогрессии 1;4;7;10 равна 22.

б) Допустим, сумма всех данных чисел равна 23.

Тогда

\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=23.

Или

(a_1+a_n)\cdot n=2\cdot 23.

Так как 23 – простое число и по условию n\geq 3, то последнее равенство могло бы выполняться при n=23. Но тогда a_1+a_{23}=2, что невозможно.

в) Имеем

\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=48;

(a_1+a_n)\cdot n=2^5\cdot 3.

Заметим, что

a_1+a_2+...+a_n\geq 1+2+...+n=\frac{(n+1)n}{2}.

Поэтому

n^2+n\leq 96,

откуда

n\leq 9.

Тогда возможны лишь следующие варианты среди прочих:

 \begin{cases} n=3,& &a_1+a_3=32;& \end{cases} или \begin{cases} n=4,& &a_1+a_4=24;& \end{cases} или \begin{cases} n=6,& &a_1+a_6=16;& \end{cases} или \begin{cases} n=8,& &a_1+a_8=12;& \end{cases}

В первом случае, когда n=3 и a_1+a_3=32,  на роль арифметической прогрессии, сумма которой 48, подходит ряд чисел 14;16;18.

Во втором случае, когда  n=4 и a_1+a_4=24, на роль арифметической прогрессии, сумма которой 48, подходит ряд чисел 3;9;15;21.

В третьем случае, когда  n=6 и a_1+a_6=16, на роль арифметической прогрессии, сумма которой 48, подходит ряд чисел 3;5;7;9;11;13.

В четвертом случае, когда  n=8 и a_1+a_8=12, подобрать подходящие числа a_1,a_2,...,a_8 нам не удастся.

Действительно,

\frac{2a_1+7d}{2}\cdot 8=48 (d – разность прогрессии),

откуда

2a_1+7d=12,

что означает, что 7d  кратно 2, то есть d=2m,m\in N.

Это бы означало, что a_1+7m=7, что невозможно для натуральных чисел a_1,m.

Итак, всевозможные значения n при заданных условиях – это 3;4;6.

Ответ: а) да; б) нет; в) 3;4;6.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

20 − 11 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif