Задание №19 Т/Р №220 А. Ларина

Елена Репина 2018-01-18 2018-01-24

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

19. а) Могут ли выполняться равенства $a_1+a_2+a_3+a_4=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4=30,$ где $a_1,a_2,a_3,a_4$ – целые числа?

б) Могут ли выполняться равенства $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7=60,$ где $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ – целые числа?
в) При каком наименьшем номере $n\geq 2$ могут выполняться равенства

$a_1+a_2+...+a_n=a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n=2018,$ где $a_1,a_2,...,a_n$ – целые числа?

Решение:

a) Если $a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4=2\cdot 15,$ то ровно одно из чисел $a_1,a_2,a_3,a_4$ – четное, остальные три – нечетные. Но сумма трех нечетных и одного четного слагаемых не может дать $30,$ четную величину;

Указанные равенства выполняться не могут.

б) Если $a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7=2^2\cdot 15,$ то

1) либо ровно два из чисел $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ – четные, остальные пять – нечетные. Но сумма пяти нечетных и двух четных слагаемых не может дать $60,$ то есть четную величину;

2) либо ровно одно из чисел $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ четное ( по модулю $4$ или $12$ или $20$ или $60$ ).

Если одно из чисел по модулю – $4,$ то остальные шесть по модулю – из множества { $1;3;5;15$ }. Даже если взять вариант $4;15;1;1;1;1;1$ , мы не получим $60$ в сумме, во всех остальных случаях и подавно.

Если одно из чисел по модулю – $12,$ то остальные шесть по модулю – из множества { $1;5$ }. Даже если взять вариант $12;5;1;1;1;1;1$ , мы не получим $60$ в сумме, во всех остальных случаях и подавно.

Если одно из чисел по модулю – $20,$ то остальные шесть по модулю – из множества { $1;3$ }. Даже если взять вариант $20;3;1;1;1;1;1$ , мы не получим $60$ в сумме, во всех остальных случаях и подавно.

Если одно из чисел по модулю – $60,$ то остальные шесть по модулю – из множества { $1$ }. Очевидно, вариант, когда одно из чисел равно $-60,$ нет смысла рассматривать. Если одно из семи чисел равно $60,$ то тогда сумма шести оставшихся должна равняться нулю, что возможно, когда половина из чисел – есть $-1$ . В этом случае произведение всех семи чисел отрицательно.

Указанные равенства выполняться не могут.

в) Пусть $a_1+a_2+...+a_n=a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n=2018.$

Ровно одно из чисел в наборе – четное. Оставшиеся – нечетные. Тогда количество нечетных – четно. Стало быть, в наборе нечетное количество чисел.

Если $n=3,$ то возможные интересующие варианты, – когда модули чисел либо из набора { $1;2018$ }, либо { $2;1;1009$ }. Подходящих вариантов среди них, очевидно, нет.