Задание №19 Т/Р №220 А. Ларина

2018-01-24

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№18 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

19. а) Могут ли выполняться равенства a_1+a_2+a_3+a_4=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4=30, где a_1,a_2,a_3,a_4 – целые числа?

б) Могут ли выполняться равенства a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7=60, где a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 – целые числа?
в) При каком наименьшем номере  n\geq 2 могут выполняться равенства

a_1+a_2+...+a_n=a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n=2018, где a_1,a_2,...,a_n – целые числа?

Решение:

a) Если a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4=2\cdot 15, то ровно одно из чисел a_1,a_2,a_3,a_4 – четное, остальные три – нечетные.  Но сумма трех нечетных и одного четного слагаемых не может дать 30, четную величину;

Указанные равенства выполняться не могут.

б) Если a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7=2^2\cdot 15, то

1) либо ровно два из чисел a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 – четные, остальные пять – нечетные. Но сумма пяти нечетных и двух четных слагаемых не может дать 60, то есть четную величину;

2) либо ровно одно из чисел a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 четное ( по модулю 4 или 12 или 20 или 60).

Если одно из чисел по модулю – 4, то остальные шесть по модулю – из множества {1;3;5;15}. Даже если взять вариант 4;15;1;1;1;1;1, мы не получим 60 в сумме, во всех остальных случаях и подавно.

Если одно из чисел по модулю – 12, то остальные шесть по модулю – из множества {1;5}. Даже если взять вариант 12;5;1;1;1;1;1, мы не получим 60 в сумме, во всех остальных случаях и подавно.

Если одно из чисел по модулю – 20, то остальные шесть по модулю – из множества {1;3}. Даже если взять вариант 20;3;1;1;1;1;1, мы не получим 60 в сумме, во всех остальных случаях и подавно.

Если одно из чисел по модулю – 60, то остальные шесть по модулю – из множества {1}. Очевидно, вариант, когда одно из чисел равно -60, нет смысла рассматривать. Если одно из семи чисел равно 60, то тогда сумма шести оставшихся должна равняться нулю, что возможно, когда половина из чисел – есть -1. В этом случае произведение всех семи чисел отрицательно.

Указанные равенства выполняться не могут.

в) Пусть a_1+a_2+...+a_n=a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n=2018.

Ровно одно из чисел в наборе – четное.  Оставшиеся – нечетные. Тогда количество нечетных – четно. Стало быть, в наборе нечетное количество чисел.

Если n=3, то возможные интересующие варианты, – когда модули чисел либо из набора {1;2018}, либо {2;1;1009}. Подходящих вариантов среди них, очевидно, нет.

Если n=5, то

2018=2018\cdot 1\cdot 1\cdot (-1)\cdot (-1)=2018+1+1-1-1.

Итак, наименьший номер n, при котором могут выполняться указанные равенства,  – это 5.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 5.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2 × 3 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif