Задание №19 Т/Р №220 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

19. а) Могут ли выполняться равенства $a_1+a_2+a_3+a_4=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4=30,$ где $a_1,a_2,a_3,a_4$ – целые числа?

б) Могут ли выполняться равенства $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7=60,$ где $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ – целые числа?
в) При каком наименьшем номере  $n\geq 2$ могут выполняться равенства

$a_1+a_2+…+a_n=a_1\cdot a_2\cdot …\cdot a_n=2018,$ где $a_1,a_2,…,a_n$ – целые числа?

Решение:

a) Если $a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4=2\cdot 15,$ то ровно одно из чисел $a_1,a_2,a_3,a_4$ – четное, остальные три – нечетные.  Но сумма трех нечетных и одного четного слагаемых не может дать $30,$ четную величину;

Указанные равенства выполняться не могут.

б) Если $a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7=2^2\cdot 15,$ то

1) либо ровно два из чисел $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ – четные, остальные пять – нечетные. Но сумма пяти нечетных и двух четных слагаемых не может дать $60,$ то есть четную величину;

2) либо ровно одно из чисел $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ четное ( по модулю $4$ или $12$ или $20$ или $60$).

Если одно из чисел по модулю – $4,$ то остальные шесть по модулю – из множества $\{1;3;5;15\}$. Даже если взять вариант $4;15;1;1;1;1;1$, мы не получим $60$ в сумме, во всех остальных случаях и подавно.

Если одно из чисел по модулю – $12,$ то остальные шесть по модулю – из множества $\{1;5\}.$ Даже если взять вариант $12;5;1;1;1;1;1$, мы не получим $60$ в сумме, во всех остальных случаях и подавно.

Если одно из чисел по модулю – $20,$ то остальные шесть по модулю – из множества $\{1;3\}.$ Даже если взять вариант $20;3;1;1;1;1;1$, мы не получим $60$ в сумме, во всех остальных случаях и подавно.

Если одно из чисел по модулю – $60,$ то остальные шесть по модулю – из множества $\{1\}.$ Очевидно, вариант, когда одно из чисел равно $-60,$ нет смысла рассматривать. Если одно из семи чисел равно $60,$ то тогда сумма шести оставшихся должна равняться нулю, что возможно, когда половина из чисел – есть $-1$. В этом случае произведение всех семи чисел отрицательно.

Указанные равенства выполняться не могут.

в) Пусть $a_1+a_2+…+a_n=a_1\cdot a_2\cdot …\cdot a_n=2018.$

Ровно одно из чисел в наборе – четное.  Оставшиеся – нечетные. Тогда количество нечетных – четно. Стало быть, в наборе нечетное количество чисел.

Если $n=3,$ то возможные интересующие варианты, – когда модули чисел либо из набора $\{1;2018\}$ либо $\{2;1;1009\}.$ Подходящих вариантов среди них, очевидно, нет.

Если $n=5,$ то

$2018=2018\cdot 1\cdot 1\cdot (-1)\cdot (-1)=2018+1+1-1-1.$

Итак, наименьший номер $n$, при котором могут выполняться указанные равенства,  – это $5.$

Ответ: а) нет; б) нет; в) $5.$