Задание №19 Т/Р №223 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

19. Дано трехзначное натуральное число, не кратное $100.$

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $89$?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $86$?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решение:

Пусть данное число  –  $\overline{abc}$   ($b$ и $c$ не равны нулю одновременно).

a) 

$\frac{\overline{abc}}{a+b+c}=\frac{100a+10b+c}{a+b+c}=89;$

$100a+10b+c=89a+89b+89c;$

$11a-79b-88c=0;$

$11(a-8c)=79b.$

Левая часть кратна $11,$ значит и правая часть делится на $11.$ Поскольку $79$ не кратно $11,$ то $b$ должно делиться на $11.$

Равенство возможно только, если $b=0$ и $a-8c=0$ (при условии, $c$ – не нуль).

Пусть $a=8,c=1.$ Число $801$ при делении на $9$ дает $89.$

б) 

$\frac{\overline{abc}}{a+b+c}=\frac{100a+10b+c}{a+b+c}=86;$

$100a+10b+c=86a+86b+86c;$

$14a=76b+85c$  (*)

Левая часть равенства (*) не больше $126,$ а правая при ненулевых $b,c$ одновременно – не меньше $161.$

Если же $c=0,$ то (*) примет вид:

$14a=76b;$

$7a=38b.$

При $b=1$ натуральных решений у последнего равенства нет. При $b\geq 2$ правая часть не меньше $76,$ а левая –  не больше $63.$

Если  $b=0,$ то то (*) примет вид:

$14a=85c.$

При $c=1$ натуральных решений у последнего равенства нет. При $c\geq 2$ правая часть не меньше $170,$ а левая –  не больше $126.$

Частное данного числа и суммы его цифр быть равным $89$ не может.

в) 

$m=\frac{100a+10b+c}{a+b+c}=1+9\cdot \frac{11a+b}{a+b+c}\leq 1+9\cdot \frac{11a+b}{a+b}=1+9\cdot \frac{11a+11b-10b}{a+b}=$

$=100-\frac{90b}{a+b}\leq 100-\frac{90b}{9+b}=100-\frac{90b+810-810}{9+b}=$

$=10+\frac{810}{9+b}\leq10+\frac{810}{9+1}=10+81=91.$

Итак, $m\leq 91.$

Наибольшее натуральное значение  $m=91$ достигается при $a=9,b=1,c=0.$

Число $910$ при делении на $10$ дает $91.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $91.$