Задание №19 Т/Р №223 А. Ларина

2018-02-12

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№18 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

19. а) Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры 1,2,3?

б) Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры 2,3,6?
в) Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

Решение:

Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.

Действительно,

1) если число a кратно 3, значит a=3k, тогда  a^2=9k – делится на 9;
2) если же число a не кратно 3, то оно имеет вид a=3k\pm 1, откуда  a^2=9k^2\pm 6k+1=3(3k^2\pm 2k)+1 – при делении на 3 даёт остаток 1.

Сумма цифр числа при делении на 3 даёт тот же остаток, что и само число.

Действительно, пусть \overline{a_1a_2...a_n} – натуральное число.

Тогда

\overline{a_1a_2...a_n}=10^{n-1}\cdot a_1+10^{n-2}\cdot a_2+...+100\cdot a_{n-2}+10\cdot a_{n-1}+ a_ n=

=(a_1+a_2+...+a_n)+3(3a_{n-1}+33a_{n-2}+...+3...3a_1).

Очевидно, произведение 3(3a_{n-1}+33a_{n-2}+...+3...3a_1) кратно 3. Тогда остаток  при делении на 3 числа \overline{a_1a_2...a_n} – остаток при делении на 3 суммы цифр (a_1+a_2+...+a_n) числа.

Аналогично

Сумма цифр числа при делении на 9 даёт тот же остаток, что и само число.

а)

10\cdot 1+10\cdot 2+10\cdot 3=60.

60 не делится на 9, и при этом при делении на 3 дает остаток 0, а не 1.  Указанное число не может быть полным квадратом.

б) 

10\cdot 2+10\cdot 3+10\cdot 6=110.

110 не делится на 9, и при этом при делении на 3 дает остаток 2, а не 1.  Указанное число не может быть полным квадратом.

в) Так как 1970 не делится на 9 и при делении на 3 дает остаток 2,  то и исходное число, сумма цифр которого 1970, не делится на 9 и при делении на 3 дает остаток 2.  Поэтому указанное число не может быть полным квадратом.

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

1 × два =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif