Задание №19 Т/Р №223 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

19. а) Можно ли записать точный квадрат, использовав по $10$ раз цифры $1,2,3$?

б) Можно ли записать точный квадрат, использовав по $10$ раз цифры $2,3,6$?
в) Может ли сумма цифр точного квадрата равняться $1970$?

Решение:

Квадрат натурального числа либо делится на $9$, либо при делении на $3$ даёт остаток $1$.

Действительно,

1) если число $a$ кратно $3$, значит $a=3k$, тогда  $a^2=9k$ – делится на $9$;
2) если же число $a$ не кратно $3$, то оно имеет вид $a=3k\pm 1$, откуда  $a^2=9k^2\pm 6k+1=3(3k^2\pm 2k)+1$ – при делении на $3$ даёт остаток $1$.

Сумма цифр числа при делении на $3$ даёт тот же остаток, что и само число.

Действительно, пусть $\overline{a_1a_2…a_n}$ – натуральное число.

Тогда

$\overline{a_1a_2…a_n}=10^{n-1}\cdot a_1+10^{n-2}\cdot a_2+…+100\cdot a_{n-2}+10\cdot a_{n-1}+ a_ n=$

$=(a_1+a_2+…+a_n)+3(3a_{n-1}+33a_{n-2}+…+3…3a_1).$

Очевидно, произведение $3(3a_{n-1}+33a_{n-2}+…+3…3a_1)$ кратно $3.$ Тогда остаток  при делении на $3$ числа $\overline{a_1a_2…a_n}$ – остаток при делении на $3$ суммы цифр $(a_1+a_2+…+a_n)$ числа.

Аналогично

Сумма цифр числа при делении на $9$ даёт тот же остаток, что и само число.

а)

$10\cdot 1+10\cdot 2+10\cdot 3=60.$

$60$ не делится на $9,$ и при этом при делении на $3$ дает остаток $0,$ а не $1.$  Указанное число не может быть полным квадратом.

б) 

$10\cdot 2+10\cdot 3+10\cdot 6=110.$

$110$ не делится на $9,$ и при этом при делении на $3$ дает остаток $2,$ а не $1.$  Указанное число не может быть полным квадратом.

в) Так как $1970$ не делится на $9$ и при делении на $3$ дает остаток $2,$  то и исходное число, сумма цифр которого $1970,$ не делится на $9$ и при делении на $3$ дает остаток $2.$  Поэтому указанное число не может быть полным квадратом.

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет.