Задание №20 (С5) из Тренировочного варианта №88 А. Ларина

При каких $a$ для всех $x\in [2;\frac{5}{2}]$ выполняется неравенство

$log_{|x-a|}(x^2+ax)\leq 2$ ?

Решение:

Применяем метод рационализации. Исходное неравенство

$log_{|x-a|}(x^2+ax)\leq log_{|x-a|}(x-a)^2$

равносильно системе:

$\begin{cases}(|x-a|-1)(x^2+ax-(x-a)^2)\leq 0,\\|x-a|>0,\\|x-a|\neq 1,\\x^2+ax>0;\end{cases}$

$\begin{cases}(|x-a|-1)(3ax-a^2)\leq 0,\\x\neq a,\\x\neq a\pm1,\\x(x+a)>0;\end{cases}$

Заметим, что знак выражения $|x-a|-1$ есть знак выражения $(x-a-1)(x-a+1)$ согласно тому же методу замены множителей (методу рационализации).

Тогда имеем

$\begin{cases}(|x-a|-1)(3ax-a^2)\leq 0,\\x\neq a,\\x\neq a\pm1,\\x(x+a)>0;\end{cases}$

$\begin{cases}a(x-a-1)(x-a+1)(3x-a)\leq 0,\\x\neq a,\\x\neq a\pm1,\\x(x+a)>0;\end{cases}$

Далее – кратко.

Графическое решение первого неравенства системы в системе координат $ax$:

С учетом остальных строк последней системы получаем:

Посмотрим, при каких значениях $a$ значения $x\in [2;\frac{5}{2}]$ удовлетворяют исходному неравенству:

Несложно найти координаты точек $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$.

Откуда становится видно, что подходящие нам значения $a$  – это

 ($-2;0]\cup(1,5;2$)$\cup$($2,5;3)\cup[7,5;+\infty$).

—————————————————————————————

Смотрите также задания 15, 16, 17, 18, 19 Тренировочного варианта №88. А. Ларина.