Задание №20 (С5) из Тренировочного варианта №88 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

При каких a для всех x\in [2;\frac{5}{2}] выполняется неравенство

log_{|x-a|}(x^2+ax)\leq 2 ?

Решение:

Применяем метод рационализации. Исходное неравенство

log_{|x-a|}(x^2+ax)\leq log_{|x-a|}(x-a)^2

равносильно системе:

\begin{cases} (|x-a|-1)(x^2+ax-(x-a)^2)\leq 0,& &|x-a|>0,& &|x-a|\neq 1,& &x^2+ax>0;& \end{cases}

\begin{cases} (|x-a|-1)(3ax-a^2)\leq 0,& &x\neq a,& &x\neq a\pm1,& &x(x+a)>0;& \end{cases}

Заметим, что знак выражения |x-a|-1 есть знак выражения (x-a-1)(x-a+1) согласно тому же методу замены множителей (методу рационализации).

Тогда имеем

\begin{cases} a(x-a-1)(x-a+1)(3x-a)\leq 0,& &x\neq a,& &x\neq a\pm1,& &x(x+a)>0;& \end{cases}

Далее – кратко.

Графическое решение первого неравенства системы в системе координат ax:

С учетом остальных строк последней системы получаем:

Посмотрим, при каких значениях a значения x\in [2;\frac{5}{2}] удовлетворяют исходному неравенству:

Несложно найти координаты точек A, B, C, D и E.

Откуда становится видно, что подходящие нам значения a  – это

 (-2;0]\cup(1,5;2)\cup(2,5;3)\cup[7,5;+\infty).

—————————————————————————————

Смотрите также задания 15, 16, 17, 18, 19 Тренировочного варианта №88. А. Ларина.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Дима

    Очень красивое решение, спасибо:)
    Кстати, для простоты можно было рассматривать только I и II четверти:)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, вполне.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif