Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №20 (С5) из Тренировочного варианта №88 А. Ларина

23 Окт 2014

Категория: 17 (С6) Параметры*ЛогарифмыПараметрТ/P A. Ларина

Задание №20 (С5) из Тренировочного варианта №88 А. Ларина

Елена Репина 2014-10-23 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

При каких $a$ для всех $x\in [2;\frac{5}{2}]$ выполняется неравенство

$log_{|x-a|}(x^2+ax)\leq 2$ ?

Решение:

Применяем метод рационализации. Исходное неравенство

$log_{|x-a|}(x^2+ax)\leq log_{|x-a|}(x-a)^2$

равносильно системе:

$\begin{cases} (|x-a|-1)(x^2+ax-(x-a)^2)\leq 0,& &|x-a|>0,& &|x-a|\neq 1,& &x^2+ax>0;& \end{cases}$

$\begin{cases} (|x-a|-1)(3ax-a^2)\leq 0,& &x\neq a,& &x\neq a\pm1,& &x(x+a)>0;& \end{cases}$

Заметим, что знак выражения $|x-a|-1$ есть знак выражения $(x-a-1)(x-a+1)$ согласно тому же методу замены множителей (методу рационализации).

Тогда имеем

$\begin{cases} a(x-a-1)(x-a+1)(3x-a)\leq 0,& &x\neq a,& &x\neq a\pm1,& &x(x+a)>0;& \end{cases}$

Далее – кратко.

Графическое решение первого неравенства системы в системе координат $ax$ :

С учетом остальных строк последней системы получаем:

kjh

Посмотрим, при каких значениях $a$ значения $x\in [2;\frac{5}{2}]$ удовлетворяют исходному неравенству:

Несложно найти координаты точек $A$ , $B$ , $C$ , $D$ и $E$ .

Откуда становится видно, что подходящие нам значения $a$ – это

( $-2;0]\cup(1,5;2$ ) $\cup$ ( $2,5;3)\cup[7,5;+\infty$ ).

—————————————————————————————

Смотрите также задания 15, 16, 17, 18, 19 Тренировочного варианта №88. А. Ларина.

Автор: egeMax | комментария 2

Печать страницы

комментария 2

Дима

2015-03-27 в 20:33

Очень красивое решение, спасибо:)
Кстати, для простоты можно было рассматривать только I и II четверти:)

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-03-27 в 21:08
  
  Да, вполне.
  
  [ Ответить ]

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (13)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (78)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 14 (С3) Неравенства (89)
- 15 (С4) Практич. задачи (71)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С6) Параметры* (79)
- 18 (С7) Числа, их свойства (38)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (60)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы