Задание №20 (С5) из Тренировочного варианта №88 А. Ларина

2023-07-22

При каких $a$ для всех $x\in [2;\frac{5}{2}]$ выполняется неравенство

$log_{|x-a|}(x^2+ax)\leq 2$ ?

Решение:

Применяем метод рационализации. Исходное неравенство

$log_{|x-a|}(x^2+ax)\leq log_{|x-a|}(x-a)^2$

равносильно системе:

$\begin{cases}(|x-a|-1)(x^2+ax-(x-a)^2)\leq 0,\\|x-a|>0,\\|x-a|\neq 1,\\x^2+ax>0;\end{cases}$

$\begin{cases}(|x-a|-1)(3ax-a^2)\leq 0,\\x\neq a,\\x\neq a\pm1,\\x(x+a)>0;\end{cases}$

Заметим, что знак выражения $|x-a|-1$ есть знак выражения $(x-a-1)(x-a+1)$ согласно тому же методу замены множителей (методу рационализации).

Тогда имеем

$\begin{cases}(|x-a|-1)(3ax-a^2)\leq 0,\\x\neq a,\\x\neq a\pm1,\\x(x+a)>0;\end{cases}$

$\begin{cases}a(x-a-1)(x-a+1)(3x-a)\leq 0,\\x\neq a,\\x\neq a\pm1,\\x(x+a)>0;\end{cases}$

Далее – кратко.

Графическое решение первого неравенства системы в системе координат $ax$:

,m

С учетом остальных строк последней системы получаем:

kjh

Посмотрим, при каких значениях $a$ значения $x\in [2;\frac{5}{2}]$ удовлетворяют исходному неравенству:

т

Несложно найти координаты точек $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$.

Откуда становится видно, что подходящие нам значения $a$  – это

 ($-2;0]\cup(1,5;2$)$\cup$($2,5;3)\cup[7,5;+\infty$).

—————————————————————————————

Смотрите также задания 15, 16, 17, 18, 19 Тренировочного варианта №88. А. Ларина.

Печать страницы
комментария 2
  1. Дима

    Очень красивое решение, спасибо:)
    Кстати, для простоты можно было рассматривать только I и II четверти:)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, вполне.

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




двадцать + 16 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif