Задание №20 (С5) Т/Р №94 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16№17№18№19.

При каких значениях параметра a система уравнений

\begin{cases} y^2+2xy+(x^2+2x-3)(3-x^2)=0,& &y-ax-6a=0;& \end{cases}

имеет более двух различных решений?

Решение:

Поработаем с первой строкой системы:

y^2+2xy-(x^2-3+2x)(x^2-3)=0;

y^2+2xy-(x^2-3)^2-2x(x^2-3)=0;

Первые два слагаемые хорошо бы смотрелись вместе с x^2, а последние два  c -x^2:

y^2+2xy+x^2-(x^2-3)^2-2x(x^2-3)-x^2=0;

(y+x)^2-(x^2-3+x)^2=0;

(y+x)^2=(x^2-3+x)^2;

 \left[\begin{gathered} y+x=x^2+x-3,& y+x=-x^2-x+3;& \end{gathered}\right

Итак, исходная система равносильна следующей:

\begin{cases} \left[\begin{gathered} y=x^2-3,& y=-x^2-2x+3;& \end{gathered}\right& &y=ax+6a;& \end{cases}

При конкретном значении a каждому x будет соответствовать единственный y. Наша задача – найти a, при которых следующая совокупность

\left[\begin{gathered} ax+6a=x^2-3,& ax+6a=-x^2-2x+3;& \end{gathered}\right&

имеет более двух решений.

Перепишем совокупность следующим образом:

\left[\begin{gathered} x^2-ax-3-6a=0,& x^2+x(a+2)+6a-3=0;& \end{gathered}\right&

1) Случай, когда дискриминант  хотя бы  одного из уравнений совокупности отрицателен, нам неинтересен (корней исходная система не будет иметь более двух).

2) Если дискриминант первого уравнения равен нулю (при a=-12\pm 2\sqrt{33}), то дискриминант второго положителен (см. рисунок ниже), последняя совокупность выдает нам три различных корня \frac{a}{2} и \frac{-a-2\pm \sqrt{a^2-20a+16}}{2} (проверяем…), что нас устраивает.

3) Если дискриминант второго уравнения равен нулю (при a=10\pm 2\sqrt{21}), то дискриминант певого положителен (см. рисунок ниже), последняя совокупность выдает нам три различных корня \frac{-a-2}{2} и \frac{a\pm \sqrt{a^2+24a+12}}{2} (проверяем…), что нас устраивает.

4) Нет таких a, при которых оба дискриминанта равны нулю.

5) Проверим, могут ли попарно совпасть корни уравнений совокупности:

В этом случае -a=a+2 и одновременно -3-6a=6a-3, что невозможно.

6) Нас устраивает случай, когда  дискриминанты уравнений совокупности больше нуля:

\begin{cases} a^2+24a+12>0,& &a^2-20a+16>0;& \end{cases}

\begin{cases} (x-(-12- 2\sqrt{33}))(x-(-12+ 2\sqrt{33}))>0,& &(x-(10-2\sqrt{21}))(x-(10+2\sqrt{21}));& \end{cases}

Объединяем случаи (2), (3), (6), получаем x\in (-\infty;-12-2\sqrt{33}]\cup [-12+2\sqrt{33};10-2\sqrt{21}]\cup [10+2\sqrt{21};+\infty].

Ответ: (-\infty;-12-2\sqrt{33}]\cup [-12+2\sqrt{33};10-2\sqrt{21}]\cup [10+2\sqrt{21};+\infty].

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Dima

    Здравствуйте,скажите пожалуйста,часто ли такие примеры попадаются в реальном ЕГЭ,просто достаточно сложно догадаться до такого решения.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мне кажется, для ЕГЭ – слишком «замороченное» задание… :))

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif