Главная › 17 (С6) Параметры* › Задание №20 (С5) Т/Р №94 А. Ларина

04 Дек 2014

Категория: 17 (С6) Параметры*ПараметрТ/P A. Ларина

Задание №20 (С5) Т/Р №94 А. Ларина

Елена Репина 2014-12-04 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15 , №16, №17, №18, №19.

При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases} y^2+2xy+(x^2+2x-3)(3-x^2)=0,& &y-ax-6a=0;& \end{cases}$

имеет более двух различных решений?

Решение:

Поработаем с первой строкой системы:

$y^2+2xy-(x^2-3+2x)(x^2-3)=0;$

$y^2+2xy-(x^2-3)^2-2x(x^2-3)=0;$

Первые два слагаемые хорошо бы смотрелись вместе с $x^2$ , а последние два c $-x^2$ :

$y^2+2xy+x^2-(x^2-3)^2-2x(x^2-3)-x^2=0;$

$(y+x)^2-(x^2-3+x)^2=0;$

$(y+x)^2=(x^2-3+x)^2;$

$\left[\begin{gathered} y+x=x^2+x-3,& y+x=-x^2-x+3;& \end{gathered}\right$

Итак, исходная система равносильна следующей:

$\begin{cases} \left[\begin{gathered} y=x^2-3,& y=-x^2-2x+3;& \end{gathered}\right& &y=ax+6a;& \end{cases}$

При конкретном значении $a$ каждому $x$ будет соответствовать единственный y. Наша задача – найти $a$ , при которых следующая совокупность

$\left[\begin{gathered} ax+6a=x^2-3,& ax+6a=-x^2-2x+3;& \end{gathered}\right&$

имеет более двух решений.

Перепишем совокупность следующим образом:

$\left[\begin{gathered} x^2-ax-3-6a=0,& x^2+x(a+2)+6a-3=0;& \end{gathered}\right&$

1) Случай, когда дискриминант хотя бы одного из уравнений совокупности отрицателен, нам неинтересен (корней исходная система не будет иметь более двух).

2) Если дискриминант первого уравнения равен нулю (при $a=-12\pm 2\sqrt{33}$ ), то дискриминант второго положителен (см. рисунок ниже), последняя совокупность выдает нам три различных корня $\frac{a}{2}$ и $\frac{-a-2\pm \sqrt{a^2-20a+16}}{2}$ (проверяем…), что нас устраивает.

3) Если дискриминант второго уравнения равен нулю (при $a=10\pm 2\sqrt{21}$ ), то дискриминант певого положителен (см. рисунок ниже), последняя совокупность выдает нам три различных корня $\frac{-a-2}{2}$ и $\frac{a\pm \sqrt{a^2+24a+12}}{2}$ (проверяем…), что нас устраивает.

4) Нет таких $a$ , при которых оба дискриминанта равны нулю.

5) Проверим, могут ли попарно совпасть корни уравнений совокупности:

В этом случае $-a=a+2$ и одновременно $-3-6a=6a-3$ , что невозможно.

6) Нас устраивает случай, когда дискриминанты уравнений совокупности больше нуля:

$\begin{cases} a^2+24a+12>0,& &a^2-20a+16>0;& \end{cases}$

$\begin{cases} (x-(-12- 2\sqrt{33}))(x-(-12+ 2\sqrt{33}))>0,& &(x-(10-2\sqrt{21}))(x-(10+2\sqrt{21}));& \end{cases}$

Объединяем случаи (2), (3), (6), получаем $x\in (-\infty;-12-2\sqrt{33}]\cup [-12+2\sqrt{33};10-2\sqrt{21}]\cup [10+2\sqrt{21};+\infty].$

Ответ: $(-\infty;-12-2\sqrt{33}]\cup [-12+2\sqrt{33};10-2\sqrt{21}]\cup [10+2\sqrt{21};+\infty].$

Автор: egeMax | комментария 2

Печать страницы

комментария 2

Dima

2015-08-01 в 18:30

Здравствуйте,скажите пожалуйста,часто ли такие примеры попадаются в реальном ЕГЭ,просто достаточно сложно догадаться до такого решения.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-08-01 в 18:33
  
  Мне кажется, для ЕГЭ – слишком «замороченное» задание… :))
  
  [ Ответить ]

Задание №20 (С5) Т/Р №94 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ