Задание №20 (С5) Т/Р №94 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19

При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases}y^2+2xy+(x^2+2x-3)(3-x^2)=0,\\y-ax-6a=0;&\end{cases}$

имеет более двух различных решений?

Решение:

Поработаем с первой строкой системы:

$y^2+2xy-(x^2-3+2x)(x^2-3)=0;$

$y^2+2xy-(x^2-3)^2-2x(x^2-3)=0;$

Первые два слагаемые хорошо бы смотрелись вместе с $x^2$, а последние два  c $-x^2$:

$y^2+2xy+x^2-(x^2-3)^2-2x(x^2-3)-x^2=0;$

$(y+x)^2-(x^2-3+x)^2=0;$

$(y+x)^2=(x^2-3+x)^2;$

$\left[\begin{array}{rcl}y+x=x^2+x-3,\\y+x=-x^2-x+3;\end{array}\right.\\$

Итак, исходная система равносильна следующей:

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}y=x^2-3,\\y=-x^2-2x+3;\end{array}\right.\\y=ax+6a;\end{cases}$

При конкретном значении $a$ каждому $x$ будет соответствовать единственный y. Наша задача – найти $a$, при которых следующая совокупность

$\left[\begin{array}{rcl}ax+6a=x^2-3,\\ax+6a=-x^2-2x+3;\end{array}\right.\\y=ax+6a;$

имеет более двух решений.

Перепишем совокупность следующим образом:

$\left[\begin{array}{rcl}x^2-ax-3-6a=0,\\x^2+x(a+2)+6a-3=0;\end{array}\right.\\y=ax+6a;$

1) Случай, когда дискриминант  хотя бы  одного из уравнений совокупности отрицателен, нам неинтересен (корней исходная система не будет иметь более двух).

2) Если дискриминант первого уравнения равен нулю (при $a=-12\pm 2\sqrt{33}$), то дискриминант второго положителен (см. рисунок ниже), последняя совокупность выдает нам три различных корня $\frac{a}{2}$ и $\frac{-a-2\pm \sqrt{a^2-20a+16}}{2}$ (проверяем…), что нас устраивает.

3) Если дискриминант второго уравнения равен нулю (при $a=10\pm 2\sqrt{21}$), то дискриминант певого положителен (см. рисунок ниже), последняя совокупность выдает нам три различных корня $\frac{-a-2}{2}$ и $\frac{a\pm \sqrt{a^2+24a+12}}{2}$ (проверяем…), что нас устраивает.

4) Нет таких $a$, при которых оба дискриминанта равны нулю.

5) Проверим, могут ли попарно совпасть корни уравнений совокупности:

В этом случае $-a=a+2$ и одновременно $-3-6a=6a-3$, что невозможно.

6) Нас устраивает случай, когда  дискриминанты уравнений совокупности больше нуля:

$\begin{cases}a^2+24a+12>0,\\a^2-20a+16>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}(x-(-12- 2\sqrt{33}))(x-(-12+ 2\sqrt{33}))>0,\\(x-(10-2\sqrt{21}))(x-(10+2\sqrt{21}));&\end{cases}$

Объединяем случаи (2), (3), (6), получаем $x\in (-\infty;-12-2\sqrt{33}]\cup [-12+2\sqrt{33};10-2\sqrt{21}]\cup [10+2\sqrt{21};+\infty].$

Ответ: $(-\infty;-12-2\sqrt{33}]\cup [-12+2\sqrt{33};10-2\sqrt{21}]\cup [10+2\sqrt{21};+\infty].$