Задание №20 (С5) Т/Р №95 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений

$\begin{cases}y=\frac{(x-1)^2}{2},\\lg(5-a-y)=lg(a-x);&\end{cases}$

имеет решение.

Решение:

Переходим к равносильной системе:

$\begin{cases}y=\frac{(x-1)^2}{2},\\5-a-y=a-x,\\a-x>0;\end{cases}$

И далее

$\begin{cases}y=\frac{(x-1)^2}{2},\\y=x-2a+5,\\x<a;\end{cases}$

Нас будут интересовать те значения $a$, при которых уравнение

$\frac{(x-1)^2}{2}=x-2a+5$ при условии $x<a$

имеет решение.

Рассмотрим $f(x)=(x-1)^2-2x+4a-10.$ После преобразования $f(x)$ выглядит так: $f(x)=x^2-4x+4a-9.$

Нас устраивает ситуация, когда либо $f(a)<0$ (III вариант), либо $x_{versh}<a$ при условии $D\geq 0$ (I, II варианты).

$\left[\begin{array}{rcl}(a-1)^2-2a+4a-10<0,\\\begin{cases}2<a,\\4-(4a-9)\geq 0;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}(a-3)(a+3)<0,\\\begin{cases}a>2,\\a\leq 3,25;\end{cases}\end{array}\right.$

$x\in (-3;3,25]$

Ответ: $(-3;3,25].$