Задание №20 Т/Р №106 А. Ларина

2023-07-11

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $a|x-1|=x+2$ имеет ровно один корень. Укажите этот корень для каждого такого значения $a.$

Решение: 

Уравнение $a|x-1|=x+2$ равносильно следующей совокупности:

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>1\\a(x-1)=x+2;\end{cases}\\\begin{cases}x<1,\\-a(x-1)=x+2;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>1\\a=\frac{x+2}{x-1};\end{cases}\\\begin{cases}x<1,\\a=\frac{x+2}{1-x};\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>1\\a=1+\frac{3}{x-1};\end{cases}\\\begin{cases}x<1,\\a=-1-\frac{3}{x-1};\end{cases}\end{array}\right.$

,mn

При $a\in (-1;1]$ исходное уравнение имеет единственный корень $x=\frac{a-2}{a+1}.$

Ответ: $a\in (-1;1]$: $x=\frac{a-2}{a+1}.$

Печать страницы
комментариев 15
  1. Анна

    Не нужно ли знак одного из неравенств сделать нестрогим?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Анна, нет необходимости. При x=1 имеем: 0=3 – неверно. Поэтому мы этот корень и не рассматриваем в дальнейшем.

      [ Ответить ]
  2. Мария

    Здравствуйте! Объясните, пожалуйста, как был сделан вывод по графику?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мария, если взять [latexpage]$a$ «ниже» зоны $(-1;1]$ (представляем мысленно горизонтальную прямую), то не будем иметь решений (прямая не будет пересекать синий график вовсе), а если взять $a$ «выше» зоны $(-1;1]$, мы будем иметь два решения (прямая дважды пересечет синий график). Как-то так. Уточняйте, если что-то все равно осталось неясным.

      [ Ответить ]
  3. Ирина

    Добрый день. Подскажите пожалуйста, нельзя решать такую задачу в системе координат XOY? Рассматривать как пересечение прямых?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Почему же нельзя? Можно.

      [ Ответить ]
  4. Людмила

    Здравствуйте!Как вы поняли, что х=а-2/а+1?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Выразила [latexpage]$x$ из $a=-1-\frac{3}{x-1}.$

      [ Ответить ]
      • Алина

        А почему именно из этого неравенства?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Я не поняла вопроса…

          [ Ответить ]
  5. Юлия

    Здравствуйте! А можно подробнее, как Вы вывели корень для каждого значения а? Почему выразили только из одного уравнения? А не из а = 1+3/х-1

    [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage]Здравствуйте!Из $a=-1-\frac{3}{x-1}$ выведен корень, а вторая ветка гиперболы , которая описывается указанным вами равенством, не входит вообще в зону, помеченную на рисунке голубым цветом. Верхняя граница голубой зоны – асимптота для правой ветки.

      [ Ответить ]
  6. надежда

    почему а=1, но не равно -1 ?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Нас интересует один корень!
      При а=-1 корней нет вообще. При а=1 – один как раз.

      [ Ответить ]
      • надежда

        спасибо

        [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




8 + 11 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif