Задание №20 Т/Р №109 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19
Для каждого значения $a$ решите неравенство

$ax^2-(2a+1)x+2>0$.

Решение:

1) Если $a=0$, то линейное неравенство имеет решение $x\in (-\infty;2).$

2) Если $a\neq 0,$ то имеем следующее квадратное неравенство:

$a(x-\frac{2a+1+\sqrt{4a^2-4a+1}}{2a})(x-\frac{2a+1-\sqrt{4a^2-4a+1}}{2a})>0;$

$a(x-\frac{2a+1+|2a-1|}{2a})(x-\frac{2a+1-|2a-1|}{2a})>0;$

$a(x-\frac{2a+1+2a-1}{2a})(x-\frac{2a+1-2a+1}{2a})>0;$

$a(x-2)(x-\frac{1}{a})>0.$

Неравенство решаем графически  в системе координат $xa.$ Выделенные зоны на рисунке отвечают решению неравенства.

Решение неравенства  в случае $a\neq 0$:

$a\in (-\infty;0):$  $x\in (\frac{1}{a};2);$

$a\in (0;\frac{1}{2}]:$  $x\in (-\infty;2)\cup (\frac{1}{a};+\infty);$

$a\in (\frac{1}{2};+\infty):$  $x\in (-\infty;\frac{1}{a})\cup (2;+\infty).$

Не забываем в ответе указать решение неравенства в случае $a=0$.

Ответ: 

$a\in (-\infty;0):$  $x\in (\frac{1}{a};2);$

$a=0: (-\infty;2);$

$a\in (0;\frac{1}{2}]:$  $x\in (-\infty;2)\cup (\frac{1}{a};+\infty);$

$a\in (\frac{1}{2};+\infty):$  $x\in (-\infty;\frac{1}{a})\cup (2;+\infty).$