Задание №20 Т/Р №111 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

 \begin{cases} x+\sqrt y=1,& &a+3-\sqrt y=\frac{1}{2}(a-x)^2;& \end{cases}

имеет единственное решение.

Решение:

 \begin{cases} \sqrt y=1-x,& &a+3+x-1=\frac{1}{2}(a-x)^2;& \end{cases}

 \begin{cases} \sqrt y=1-x,& &\frac{1}{2}(a-x)^2-x-a-2=0;& \end{cases}

Необходимо, чтобы уравнение 2-й строки системы имело бы единственный корень при x\leq 1.

Потребуем (для f(x)=\frac{1}{2}(a-x)^2-x-a-2 или, что тоже самое,  для f(x)=\frac{1}{2}x^2-(a+1)x+\frac{1}{2}a^2-a-2):

 \left[\begin{gathered} f(1)<0;& \begin{cases} x_{versh}\leq 1,& &D=0;& \end{cases}& \begin{cases} x_{versh}>1,& &f(1)=0;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \frac{1}{2}-a-1+\frac{1}{2}a^2-a-2<0;& \begin{cases} a+1\leq 1;& &(a+1)^2-2(\frac{1}{2}a^2-a-2)=0;& \end{cases}& \begin{cases} a+1>1,& &\frac{1}{2}-a-1+\frac{1}{2}a^2-a-2=0;& \end{cases}& \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} a^2-4a-5<0;& \begin{cases} a\leq 0;& &4a+5=0;& \end{cases}& \begin{cases} a>0,& &\left[\begin{gathered} a=-1& a=5; \end{gathered}\right& \end{cases}& \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} (a-5)(a+1)<0;& \begin{cases} a\leq 0;& &a=-\frac{5}{4};& \end{cases}& a=5; \end{gathered}\right&

x\in{-\frac{5}{4}}\cup (-1;5].

Ответ: {-\frac{5}{4}}\cup (-1;5].

Печать страницы
Комментариев: 4
  1. яла

    Большое спасибо за Ваш труд. Ваша помощь необходима. Желаю Вам здоровья и успеха!!!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Яла, спасибо!

      [ Ответить ]
  2. Анна

    Елена Юрьевна, добрый день!
    Подскажите, пожалуйста, что означает индекс “versh” у переменной х?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      «versh» – вершина ;)

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif