Задание №20 Т/Р №111 А. Ларина

Елена Репина 2015-04-02 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} x+\sqrt y=1,& &a+3-\sqrt y=\frac{1}{2}(a-x)^2;& \end{cases}$

имеет единственное решение.

Решение:

$\begin{cases} \sqrt y=1-x,& &a+3+x-1=\frac{1}{2}(a-x)^2;& \end{cases}$

$\begin{cases} \sqrt y=1-x,& &\frac{1}{2}(a-x)^2-x-a-2=0;& \end{cases}$

Необходимо, чтобы уравнение 2-й строки системы имело бы единственный корень при $x\leq 1.$

Потребуем (для $f(x)=\frac{1}{2}(a-x)^2-x-a-2$ или, что тоже самое, для $f(x)=\frac{1}{2}x^2-(a+1)x+\frac{1}{2}a^2-a-2$ ):

$\left[\begin{gathered} f(1)<0;& \begin{cases} x_{versh}\leq 1,& &D=0;& \end{cases}& \begin{cases} x_{versh}>1,& &f(1)=0;& \end{cases}& \end{gathered}\right&$

iuh

$\left[\begin{gathered} \frac{1}{2}-a-1+\frac{1}{2}a^2-a-2<0;& \begin{cases} a+1\leq 1;& &(a+1)^2-2(\frac{1}{2}a^2-a-2)=0;& \end{cases}& \begin{cases} a+1>1,& &\frac{1}{2}-a-1+\frac{1}{2}a^2-a-2=0;& \end{cases}& \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered} a^2-4a-5<0;& \begin{cases} a\leq 0;& &4a+5=0;& \end{cases}& \begin{cases} a>0,& &\left[\begin{gathered} a=-1& a=5; \end{gathered}\right& \end{cases}& \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered} (a-5)(a+1)<0;& \begin{cases} a\leq 0;& &a=-\frac{5}{4};& \end{cases}& a=5; \end{gathered}\right&$

$x\in$ { $-\frac{5}{4}$ } $\cup (-1;5].$

Ответ: { $-\frac{5}{4}$ } $\cup (-1;5].$

Автор: egeMax | комментария 4

Печать страницы

комментария 4

яла

2015-06-01 в 16:12

Большое спасибо за Ваш труд. Ваша помощь необходима. Желаю Вам здоровья и успеха!!!

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-06-01 в 17:52
  
  Яла, спасибо!
  
  [ Ответить ]
Анна

2015-06-02 в 07:23

Елена Юрьевна, добрый день!
Подскажите, пожалуйста, что означает индекс “versh” у переменной х?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-06-02 в 08:40
  
  «versh» – вершина ;)
  
  [ Ответить ]

Задание №20 Т/Р №111 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ