Задание №20 Т/Р №111 А. Ларина

2023-07-09

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}x+\sqrt y=1,\\a+3-\sqrt y=\frac{1}{2}(a-x)^2;&\end{cases}$

имеет единственное решение.

Решение:

$\begin{cases}\sqrt y=1-x,\\a+3+x-1=\frac{1}{2}(a-x)^2;&\end{cases}$

$\begin{cases}\sqrt y=1-x,\\\frac{1}{2}(a-x)^2-x-a-2=0;&\end{cases}$

Необходимо, чтобы уравнение 2-й строки системы имело бы единственный корень при $x\leq 1.$

Потребуем (для $f(x)=\frac{1}{2}(a-x)^2-x-a-2$ или, что тоже самое,  для $f(x)=\frac{1}{2}x^2-(a+1)x+\frac{1}{2}a^2-a-2$):

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x_{versh}\leq 1,\\D=0;\end{cases}\\\begin{cases}x_{versh}>1,\\f(1)=0;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}f(1)<0;\end{cases}\\\begin{cases}x_{versh}\leq 1,\\D=0;\end{cases}\\\begin{cases}x_{versh}>1,\\f(1)=0;\end{cases}\end{array}\right.$

iuh

$\left[\begin{array}{rcl}\frac{1}{2}-a-1+\frac{1}{2}a^2-a-2<0;\\\begin{cases}a+1\leq 1;\\(a+1)^2-2(\frac{1}{2}a^2-a-2)=0;\end{cases}\\\begin{cases}a+1>1,\\\frac{1}{2}-a-1+\frac{1}{2}a^2-a-2=0;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}a^2-4a-5<0;\\\begin{cases}a\leq 0;\\4a+5=0;\end{cases}\\\begin{cases}a>0,\\\left[\begin{array}{rcl}a=-1,\\a=5\end{array}\right.\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}(a-5)(a+1)<0;\\\begin{cases}a\leq 0;\\a=-\frac{5}{4};\end{cases}\\a=5;\end{array}\right.$

9

$x\in ${$-\frac{5}{4}$}$\cup (-1;5].$

Ответ: {$-\frac{5}{4}$}$\cup (-1;5].$

Печать страницы
комментария 4
  1. яла

    Большое спасибо за Ваш труд. Ваша помощь необходима. Желаю Вам здоровья и успеха!!!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Яла, спасибо!

      [ Ответить ]
  2. Анна

    Елена Юрьевна, добрый день!
    Подскажите, пожалуйста, что означает индекс “versh” у переменной х?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      «versh» – вершина ;)

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




семь + 4 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif