Задание №20 Т/Р №115 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система

$\begin{cases}\frac{y^3+yx^2-4y}{\sqrt{x+1}}=0,\\y-ax=5a+2;&\end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Решение:

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}y=0,\\x^2+y^2=4;\end{array}\right.\\x>-1,\\y=a(x+5)+2;&\end{cases}$

Заметим, $y=a(x+5)+2$ – график – семейство прямых, проходящих через точку $(-5;2).$

1) Очевидно, $a$, отвечающее за прохождение луча (с открытым концом) $y=a(x+5)+2, x>-1$ через точку $A$ (см. рис.), – это $0$.

2) Найдем $a$, отвечающее за прохождение луча $y=a(x+5)+2, x>-1$ через точку $B(-1;0):$

$0=a(-1+5)+2;$

$a=-\frac{1}{2}.$

3)  Найдем $a$, отвечающее за прохождение луча $y=a(x+5)+2, x>-1$ через точку $C(2;0):$

$0=a(2+5)+2;$

$a=-\frac{2}{7}.$

4)  Найдем $a$, отвечающее за прохождение луча $y=a(x+5)+2, x>-1$ через точку $D:$

Координаты точки $D$ – $(-1;-\sqrt3)$, так как $(-1)^2+y^2=4, y<0.$

Тогда

$-\sqrt3=a(-1+5)+2;$

$a=-\frac{\sqrt3+2}{4}.$

Ответ: $(-\frac{\sqrt3+2}{4};-\frac{1}{2}]\cup${$-\frac{2}{7};0$}.