Задание №20 Т/Р №116 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система

$\begin{cases}\large \frac{(y^2+x^2-1)(y^2-y+x^2-x)}{\sqrt{y-x}}=0,\\y+x=a;&\end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Решение:

Имеем

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x^2+y^2=1,\\y^2-y+x^2-x=0;\end{array}\right.\\y>x,\\y+x=a;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x^2+y^2=1,\\(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2};\end{array}\right.\\y>x,\\y+x=a;&\end{cases}$

Заметим, окружность $(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$ проходит через точки $(0;1)$ и $(1;0)$, так же как и окружность $x^2+y^2=1.$

Кратко.

Исходная система будет иметь одно решение в случае прохождения прямой $y=-x+a$ через точки $O,B,C$, а также в случае расположения прямой в зоне между точками $A,O$ (не включая $A$), $C,D$ (не включая $D$) (см. рис.).

Несложно высчитать координаты указанных точек:

$A(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}),O(0;0),B(\frac{1}{2};\frac{1}{2}),C(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}),D(1;1).$

А затем и значения $a$, отвечающие за прохождение прямой $y=-x+a$ через указанные точки…

Ответ: $(-\sqrt2;0]\cup \{1\}\cup [\sqrt2;2).$