Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система
$\begin{cases}\large \frac{(y^2+x^2-1)(y^2-y+x^2-x)}{\sqrt{y-x}}=0,\\y+x=a;&\end{cases}$
имеет ровно одно решение.
Решение:
Имеем
$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x^2+y^2=1,\\y^2-y+x^2-x=0;\end{array}\right.\\y>x,\\y+x=a;&\end{cases}$
$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x^2+y^2=1,\\(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2};\end{array}\right.\\y>x,\\y+x=a;&\end{cases}$
Заметим, окружность $(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$ проходит через точки $(0;1)$ и $(1;0)$, так же как и окружность $x^2+y^2=1.$
Кратко.
Исходная система будет иметь одно решение в случае прохождения прямой $y=-x+a$ через точки $O,B,C$, а также в случае расположения прямой в зоне между точками $A,O$ (не включая $A$), $C,D$ (не включая $D$) (см. рис.).
Несложно высчитать координаты указанных точек:
$A(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}),O(0;0),B(\frac{1}{2};\frac{1}{2}),C(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}),D(1;1).$
А затем и значения $a$, отвечающие за прохождение прямой $y=-x+a$ через указанные точки…
Ответ: $(-\sqrt2;0]\cup \{1\}\cup [\sqrt2;2).$
Почему точка 0 включена? Х=У=0,что не соответствует О.Д.З.
Марат, посмотрите внимательно на рисунок. Прямая y=-x+a, проходящая через точку O(0;0), пересекается с малой дугой и с большой. Точек пересечения – две, но одна из них посторонняя именно из-за одз (на рис. она выколота). Поэтому указанный вариант нас устраивает.
Все равно, не понял, можно поподробнее, пожалуйста?
Вы просто можете подставить a=0 в исходную систему… Вы увидите, что получим одно решение – [latexpage]$(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2})$.Его же, если увидите на рисунке, то все должно встать на свои места…
Спасибо за объяснение
Добрый день, Елена Юрьевна, у Вас всё хорошо? Спрашиваю, потому что на сайте перестали опубликовываться задания А. Ларина. Может случилось что?
Марат, все нормально, спасибо. Да, 117 вариант не публиковала – что-то напряженка со временем случилась…
118 будет!!!
;)
Рад, что все хорошо, до связи.
;)
Елена Юрьевна, куда Вы пропали так не вовремя?:(
Дима, я здесь ;) Вариант 118 будет вот-вот.
Да, 117 не оформила (жуткий напряг был со временем…)
Думала, никто не заметит… Ан нет, – не ты первый спрашиваешь…
Не заметил в тот раз комментарий Марата. Хорошо, а то подумал, что что-то случилось)
Здравствуйте! В системе условия на окружности стоят либо либо. А на графике мы их рассматриваем не отдельно, а на одной картинке. Так и должно быть?
Не совсем поняла… На уравнение окружности накладываются дополнительные условия. Окружность «обрезается«…
Или вы имеете ввиду строки совокупности? Уточните, пожалуйста.
Да, я про совокупность. Как я понимаю при такой записи мы же должны учитывать либо одну окружность на графике либо другую..
т.е сначала найти где 1 решение с 1 окружностью, а потом уже 1 решение с другой.
Объединение двух полуокружностей (воспринимайте их как одно целое!) и есть графическая иллюстрация первой строки исходной системы.
Анна, совокупность носит объединяющий характер, а не разделяющий. Это очень важно понимать!))
В быту «или» чаще всего носит разделяющий характер, в математике – нет.