Задание №20 Т/Р №116 А. Ларина

2023-06-15

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система

$\begin{cases}\large \frac{(y^2+x^2-1)(y^2-y+x^2-x)}{\sqrt{y-x}}=0,\\y+x=a;&\end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Решение:

Имеем

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x^2+y^2=1,\\y^2-y+x^2-x=0;\end{array}\right.\\y>x,\\y+x=a;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}x^2+y^2=1,\\(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2};\end{array}\right.\\y>x,\\y+x=a;&\end{cases}$

Заметим, окружность $(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$ проходит через точки $(0;1)$ и $(1;0)$, так же как и окружность $x^2+y^2=1.$

шд

Кратко.

Исходная система будет иметь одно решение в случае прохождения прямой $y=-x+a$ через точки $O,B,C$, а также в случае расположения прямой в зоне между точками $A,O$ (не включая $A$), $C,D$ (не включая $D$) (см. рис.).

Несложно высчитать координаты указанных точек:

$A(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}),O(0;0),B(\frac{1}{2};\frac{1}{2}),C(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}),D(1;1).$

А затем и значения $a$, отвечающие за прохождение прямой $y=-x+a$ через указанные точки…

Ответ: $(-\sqrt2;0]\cup \{1\}\cup [\sqrt2;2).$

Печать страницы
комментариев 18
  1. Марат

    Почему точка 0 включена? Х=У=0,что не соответствует О.Д.З.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Марат, посмотрите внимательно на рисунок. Прямая y=-x+a, проходящая через точку O(0;0), пересекается с малой дугой и с большой. Точек пересечения – две, но одна из них посторонняя именно из-за одз (на рис. она выколота). Поэтому указанный вариант нас устраивает.

      [ Ответить ]
      • Марат

        Все равно, не понял, можно поподробнее, пожалуйста?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Вы просто можете подставить a=0 в исходную систему… Вы увидите, что получим одно решение – [latexpage]$(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2})$.Его же, если увидите на рисунке, то все должно встать на свои места…

          [ Ответить ]
          • Марат

            Спасибо за объяснение

            [ Ответить ]
  2. Марат

    Добрый день, Елена Юрьевна, у Вас всё хорошо? Спрашиваю, потому что на сайте перестали опубликовываться задания А. Ларина. Может случилось что?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Марат, все нормально, спасибо. Да, 117 вариант не публиковала – что-то напряженка со временем случилась…
      118 будет!!!
      ;)

      [ Ответить ]
      • Марат

        Рад, что все хорошо, до связи.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          ;)

          [ Ответить ]
  3. Дима

    Елена Юрьевна, куда Вы пропали так не вовремя?:(

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дима, я здесь ;) Вариант 118 будет вот-вот.
      Да, 117 не оформила (жуткий напряг был со временем…)
      Думала, никто не заметит… Ан нет, – не ты первый спрашиваешь…

      [ Ответить ]
      • Дима

        Не заметил в тот раз комментарий Марата. Хорошо, а то подумал, что что-то случилось)

        [ Ответить ]
  4. Анна

    Здравствуйте! В системе условия на окружности стоят либо либо. А на графике мы их рассматриваем не отдельно, а на одной картинке. Так и должно быть?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не совсем поняла… На уравнение окружности накладываются дополнительные условия. Окружность «обрезается«…
      Или вы имеете ввиду строки совокупности? Уточните, пожалуйста.

      [ Ответить ]
      • Анна

        Да, я про совокупность. Как я понимаю при такой записи мы же должны учитывать либо одну окружность на графике либо другую..

        [ Ответить ]
        • Анна

          т.е сначала найти где 1 решение с 1 окружностью, а потом уже 1 решение с другой.

          [ Ответить ]
          • egeMax

            Объединение двух полуокружностей (воспринимайте их как одно целое!) и есть графическая иллюстрация первой строки исходной системы.

            [ Ответить ]
        • egeMax

          Анна, совокупность носит объединяющий характер, а не разделяющий. Это очень важно понимать!))
          В быту «или» чаще всего носит разделяющий характер, в математике – нет.

          [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




2 × три =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif