Задание №20 Т/Р №116 А. Ларина

Елена Репина 2015-05-07 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

$\begin{cases} \frac{(y^2+x^2-1)(y^2-y+x^2-x)}{\sqrt{y-x}}=0,& &y+x=a;& \end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Решение:

Имеем

$\begin{cases} \left[\begin{gathered} x^2+y^2=1,& y^2-y+x^2-x=0;& \end{gathered}\right& &y>x,& &y+x=a;& \end{cases}$

$\begin{cases} \left[\begin{gathered} x^2+y^2=1,& (x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2};& \end{gathered}\right& &y>x,& &y+x=a;& \end{cases}$

Заметим, окружность $(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$ проходит через точки $(0;1)$ и $(1;0)$ , так же как и окружность $x^2+y^2=1.$

Кратко.

Исходная система будет иметь одно решение в случае прохождения прямой $y=-x+a$ через точки $O,B,C$ , а также в случае расположения прямой в зоне между точками $A,O$ (не включая $A$ ), $C,D$ (не включая $D$ ) (см. рис.).

Несложно высчитать координаты указанных точек:

$A(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}),O(0;0),B(\frac{1}{2};\frac{1}{2}),C(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}),D(1;1).$

А затем и значения $a$ , отвечающие за прохождение прямой $y=-x+a$ через указанные точки…

Ответ: $(-\sqrt2;0]\cup$ { $1$ } $\cup [\sqrt2;2).$

Автор: egeMax | комментариев 18

Печать страницы

комментариев 18

Марат

2015-05-08 в 08:55

Почему точка 0 включена? Х=У=0,что не соответствует О.Д.З.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-08 в 10:30
  
  Марат, посмотрите внимательно на рисунок. Прямая y=-x+a, проходящая через точку O(0;0), пересекается с малой дугой и с большой. Точек пересечения – две, но одна из них посторонняя именно из-за одз (на рис. она выколота). Поэтому указанный вариант нас устраивает.
  
  [ Ответить ]
  - Марат
    
    2015-05-08 в 10:42
    
    Все равно, не понял, можно поподробнее, пожалуйста?
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2015-05-08 в 10:51
      
      Вы просто можете подставить a=0 в исходную систему… Вы увидите, что получим одно решение – $(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2})$ .Его же, если увидите на рисунке, то все должно встать на свои места…
      
      [ Ответить ]
      - Марат
        
        2015-05-08 в 13:00
        
        Спасибо за объяснение
        
        [ Ответить ]
Марат

2015-05-19 в 13:31

Добрый день, Елена Юрьевна, у Вас всё хорошо? Спрашиваю, потому что на сайте перестали опубликовываться задания А. Ларина. Может случилось что?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-19 в 13:34
  
  Марат, все нормально, спасибо. Да, 117 вариант не публиковала – что-то напряженка со временем случилась…
  118 будет!!!
  ;)
  
  [ Ответить ]
  - Марат
    
    2015-05-19 в 15:57
    
    Рад, что все хорошо, до связи.
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2015-05-19 в 15:59
      
      ;)
      
      [ Ответить ]
Дима

2015-05-20 в 18:36

Елена Юрьевна, куда Вы пропали так не вовремя?:(

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-20 в 20:22
  
  Дима, я здесь ;) Вариант 118 будет вот-вот.
  Да, 117 не оформила (жуткий напряг был со временем…)
  Думала, никто не заметит… Ан нет, – не ты первый спрашиваешь…
  
  [ Ответить ]
  - Дима
    
    2015-05-29 в 15:18
    
    Не заметил в тот раз комментарий Марата. Хорошо, а то подумал, что что-то случилось)
    
    [ Ответить ]
Анна

2015-11-08 в 22:35

Здравствуйте! В системе условия на окружности стоят либо либо. А на графике мы их рассматриваем не отдельно, а на одной картинке. Так и должно быть?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-11-08 в 22:40
  
  Не совсем поняла… На уравнение окружности накладываются дополнительные условия. Окружность «обрезается«…
  Или вы имеете ввиду строки совокупности? Уточните, пожалуйста.
  
  [ Ответить ]
  - Анна
    
    2015-11-08 в 23:18
    
    Да, я про совокупность. Как я понимаю при такой записи мы же должны учитывать либо одну окружность на графике либо другую..
    
    [ Ответить ]
    - Анна
      
      2015-11-08 в 23:19
      
      т.е сначала найти где 1 решение с 1 окружностью, а потом уже 1 решение с другой.
      
      [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2015-11-09 в 07:49
        
        Объединение двух полуокружностей (воспринимайте их как одно целое!) и есть графическая иллюстрация первой строки исходной системы.
        
        [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2015-11-09 в 07:47
      
      Анна, совокупность носит объединяющий характер, а не разделяющий. Это очень важно понимать!))
      В быту «или» чаще всего носит разделяющий характер, в математике – нет.
      
      [ Ответить ]

Задание №20 Т/Р №116 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ