Задание №20 Т/Р №116 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

 \begin{cases} \frac{(y^2+x^2-1)(y^2-y+x^2-x)}{\sqrt{y-x}}=0,& &y+x=a;& \end{cases}

имеет ровно одно решение.

Решение:

Имеем

 \begin{cases} \left[\begin{gathered} x^2+y^2=1,& y^2-y+x^2-x=0;& \end{gathered}\right& &y>x,& &y+x=a;& \end{cases}

 \begin{cases} \left[\begin{gathered} x^2+y^2=1,& (x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2};& \end{gathered}\right& &y>x,& &y+x=a;& \end{cases}

Заметим, окружность (x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2} проходит через точки (0;1) и (1;0), так же как и окружность x^2+y^2=1.

Кратко.

Исходная система будет иметь одно решение в случае прохождения прямой y=-x+a через точки O,B,C, а также в случае расположения прямой в зоне между точками A,O (не включая A), C,D (не включая D) (см. рис.).

Несложно высчитать координаты указанных точек:

A(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}),O(0;0),B(\frac{1}{2};\frac{1}{2}),C(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}),D(1;1).

А затем и значения a, отвечающие за прохождение прямой y=-x+a через указанные точки…

Ответ: (-\sqrt2;0]\cup{1}\cup [\sqrt2;2).

Печать страницы
Комментариев: 18
  1. Марат

    Почему точка 0 включена? Х=У=0,что не соответствует О.Д.З.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Марат, посмотрите внимательно на рисунок. Прямая y=-x+a, проходящая через точку O(0;0), пересекается с малой дугой и с большой. Точек пересечения – две, но одна из них посторонняя именно из-за одз (на рис. она выколота). Поэтому указанный вариант нас устраивает.

      [ Ответить ]
      • Марат

        Все равно, не понял, можно поподробнее, пожалуйста?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Вы просто можете подставить a=0 в исходную систему… Вы увидите, что получим одно решение – (-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}).Его же, если увидите на рисунке, то все должно встать на свои места…

          [ Ответить ]
          • Марат

            Спасибо за объяснение

            [ Ответить ]
  2. Марат

    Добрый день, Елена Юрьевна, у Вас всё хорошо? Спрашиваю, потому что на сайте перестали опубликовываться задания А. Ларина. Может случилось что?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Марат, все нормально, спасибо. Да, 117 вариант не публиковала – что-то напряженка со временем случилась…
      118 будет!!!
      ;)

      [ Ответить ]
      • Марат

        Рад, что все хорошо, до связи.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          ;)

          [ Ответить ]
  3. Дима

    Елена Юрьевна, куда Вы пропали так не вовремя?:(

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дима, я здесь ;) Вариант 118 будет вот-вот.
      Да, 117 не оформила (жуткий напряг был со временем…)
      Думала, никто не заметит… Ан нет, – не ты первый спрашиваешь…

      [ Ответить ]
      • Дима

        Не заметил в тот раз комментарий Марата. Хорошо, а то подумал, что что-то случилось)

        [ Ответить ]
  4. Анна

    Здравствуйте! В системе условия на окружности стоят либо либо. А на графике мы их рассматриваем не отдельно, а на одной картинке. Так и должно быть?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не совсем поняла… На уравнение окружности накладываются дополнительные условия. Окружность «обрезается«…
      Или вы имеете ввиду строки совокупности? Уточните, пожалуйста.

      [ Ответить ]
      • Анна

        Да, я про совокупность. Как я понимаю при такой записи мы же должны учитывать либо одну окружность на графике либо другую..

        [ Ответить ]
        • Анна

          т.е сначала найти где 1 решение с 1 окружностью, а потом уже 1 решение с другой.

          [ Ответить ]
          • egeMax

            Объединение двух полуокружностей (воспринимайте их как одно целое!) и есть графическая иллюстрация первой строки исходной системы.

            [ Ответить ]
        • egeMax

          Анна, совокупность носит объединяющий характер, а не разделяющий. Это очень важно понимать!))
          В быту «или» чаще всего носит разделяющий характер, в математике – нет.

          [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif