Задание №20 Т/Р №118 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Решение:

\begin{cases} x(xy-x^2+6x-9)=y(2x+y+3),& &4(y-ax)=3(4a-3);& \end{cases}&

Рассмотрим отдельно первое уравнение заданной системы как квадратное относительно y:

x(xy-x^2+6x-9)=y(2x+y+3);

x^2y-x(x-3)^2=(2x+3)y+y^2;

y^2+(2x+3-x^2)y+x(x-3)^2=0;

y=\frac{(x-3)(x+1)\pm \sqrt{((x-3)(x+1))^2-4x(x-3)^2}}{2};

y=\frac{(x-3)(x+1)\pm \sqrt{(x-3)^2(x-1)^2}}{2};

y=\frac{(x-3)(x+1+x-1)}{2} или y=\frac{(x-3)(x+1-x+1)}{2};

y=x(x-3) или y=x-3;

Итак, исходную систему можно переписать так:

\begin{cases} \left[\begin{gathered} y=x(x-3),& y=x-3;& \end{gathered}\right& &y=(3+x)a-\frac{9}{4};& \end{cases}

Заметим, прямая y=(3+x)a-\frac{9}{4} при любом значении a проходит через точку (-3;-2,25).

Несложно найти координаты точек пересечения параболы y=x(x-3) и прямой y=x-3:

B(3;0) и C(1;-2).

Исходная система будет иметь два решения при тех значениях параметра a, при которых прямая y=(3+x)a-\frac{9}{4}

1) проходит через точку B;

2) проходит через точку C;

3) проходит через вершину параболы y=x(x-3);

4) параллельна  прямой y=x-3;

5) является касательной к левой ветке параболы y=x(x-3).

Рассмотрим отдельно каждый случай.

В первом случае 0=(3+3)a-\frac{9}{4}, то есть a=\frac{3}{8}.

Во втором случае -2=(3+1)a-\frac{9}{4}, то есть a=\frac{1}{16}.

В третьем случае, заметив, что вершина параболы y=x(x-3) – точка (\frac{3}{2};-\frac{9}{4}), получаем, что a=0.

В четвертом случае, очевидно, a=1.

В пятом случае дискриминант уравнения (3+x)a-\frac{9}{4}=x(x-3) должен равняться нулю (при этом a\neq 0, так как при a=0 происходит касание прямой y=(3+x)a-\frac{9}{4} и вершины параболы  (см. пункт 3)).

x^2-(3+a)x+\frac{9}{4}-3a=0;

D=9+6a+a^2-9+12a;

D=0 <=> a^2+18a=0;

Итак, подходит случай a=-18.

Ответ: -18;0;\frac{1}{16};\frac{3}{8};1.

Печать страницы
Комментариев: 10
  1. Антон

    У меня вопрос. В пятом случае: причем тут дискриминант? как это работает? то есть складываются (ну вернее вычитаются) два графика и если получившаяся парабола имеет 2 пересечения с ОХ (D>0), то эти два графика по отдельности пересекаются 2 раза , если одно пересечение (D=0), то один раз (то есть наш случай), а если D<0, то ни разу? Я правильно понимаю? Просто в школе этого не объясняют, а понять хочется) Заранее спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Антон, прямая y=kx+b и парабола y=ax^2+bx+c могут
      а) пресекаться в двух точках;
      б) не иметь общих точек;
      в) иметь одну общую точку (касаться).
      В случае (а) система
      \begin{cases} y=kx+b,& &y=ax^2+bx+c;& \end{cases} имеет два решения, то есть уравнение ax^2+bx+c=kx+b имеет два решения (D>0).
      В случае (б) указанная система не имеет решений, то есть D<0
      для ax^2+bx+c=kx+b.
      В случае (в) указанная система имеет одно решение, то есть D=0 для ax^2+bx+c=kx+b.

      [ Ответить ]
  2. Нелли

    Почему при преобразовании первого уравнения при выносе квадрата из под корня нет |x-3||x+1|.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Просто за счет «+/–» модуль «уходит». Вот и все. Распишите подробно – увидите.

      [ Ответить ]
      • Наталия

        Если при извлечении корня оставить модуль |x-3||x-1|, то функция y=x(x-3) получается не для всех х, а только при x3. То же самое и для второго случая. Разве нет?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Нет. Модуль не ограничивает саму переменную (подмодульную)

          [ Ответить ]
          • Наталия

            Все-таки я не понимаю. Модуль равен подмодульному выражению, если х больше 3 или х меньше 1, тогда и получается функция y=x(x-3). На интервале от 1 до 3 модуль раскрывается со знаком минус, тогда получаем прямую y=x-3.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Все верно. Но за счет того, что перед модулем стоит «+/-» модуль «теряется».
            Именно поэтому в решении его не видно…

            [ Ответить ]
  3. Елена

    Здравствуйте.
    Как получилась четвертая строчка при рассмотрении системы как квадратное уравнение относительно x? Никак не соображу, как так можно было выразить y

    [ Ответить ]
    • egeMax

      По формуле нахождения корней через дискриминант))

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif