Задание №20 Т/Р №118 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Решение:

$\begin{cases}x(xy-x^2+6x-9)=y(2x+y+3),\\4(y-ax)=3(4a-3);&\end{cases}$

Рассмотрим отдельно первое уравнение заданной системы как квадратное относительно $y$:

$x(xy-x^2+6x-9)=y(2x+y+3);$

$x^2y-x(x-3)^2=(2x+3)y+y^2;$

$y^2+(2x+3-x^2)y+x(x-3)^2=0;$

$y=\frac{(x-3)(x+1)\pm \sqrt{((x-3)(x+1))^2-4x(x-3)^2}}{2};$

$y=\frac{(x-3)(x+1)\pm \sqrt{(x-3)^2(x-1)^2}}{2};$

$y=\frac{(x-3)(x+1+x-1)}{2}$ или $y=\frac{(x-3)(x+1-x+1)}{2};$

$y=x(x-3)$ или $y=x-3;$

Итак, исходную систему можно переписать так:

$\begin{cases}\left[\begin {array}{rcl}y=x(x-3),\\y=x-3;\end{array}\right.\\y=(3+x)a-\frac{9}{4};&\end{cases}$

Заметим, прямая $y=(3+x)a-\frac{9}{4}$ при любом значении $a$ проходит через точку $(-3;-2,25)$.

Несложно найти координаты точек пересечения параболы $y=x(x-3)$ и прямой $y=x-3$:

$B(3;0)$ и $C(1;-2).$

Исходная система будет иметь два решения при тех значениях параметра $a$, при которых прямая $y=(3+x)a-\frac{9}{4}$

1) проходит через точку $B$;

2) проходит через точку $C$;

3) проходит через вершину параболы $y=x(x-3)$;

4) параллельна  прямой $y=x-3$;

5) является касательной к левой ветке параболы $y=x(x-3).$

Рассмотрим отдельно каждый случай.

В первом случае $0=(3+3)a-\frac{9}{4},$ то есть $a=\frac{3}{8}.$

Во втором случае $-2=(3+1)a-\frac{9}{4},$ то есть $a=\frac{1}{16}.$

В третьем случае, заметив, что вершина параболы $y=x(x-3)$ – точка $(\frac{3}{2};-\frac{9}{4})$, получаем, что $a=0.$

В четвертом случае, очевидно, $a=1.$

В пятом случае дискриминант уравнения $(3+x)a-\frac{9}{4}=x(x-3)$ должен равняться нулю (при этом $a\neq 0$, так как при $a=0$ происходит касание прямой $y=(3+x)a-\frac{9}{4}$ и вершины параболы  (см. пункт 3)).

$x^2-(3+a)x+\frac{9}{4}-3a=0;$

$D=9+6a+a^2-9+12a;$

$D=0$ <=> $a^2+18a=0;$

Итак, подходит случай $a=-18$.

Ответ: $-18;0;\frac{1}{16};\frac{3}{8};1.$