Задание №20 Т/Р №118 А. Ларина

2023-06-15

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

зщдл

Решение:

$\begin{cases}x(xy-x^2+6x-9)=y(2x+y+3),\\4(y-ax)=3(4a-3);&\end{cases}$

Рассмотрим отдельно первое уравнение заданной системы как квадратное относительно $y$:

$x(xy-x^2+6x-9)=y(2x+y+3);$

$x^2y-x(x-3)^2=(2x+3)y+y^2;$

$y^2+(2x+3-x^2)y+x(x-3)^2=0;$

$y=\frac{(x-3)(x+1)\pm \sqrt{((x-3)(x+1))^2-4x(x-3)^2}}{2};$

$y=\frac{(x-3)(x+1)\pm \sqrt{(x-3)^2(x-1)^2}}{2};$

$y=\frac{(x-3)(x+1+x-1)}{2}$ или $y=\frac{(x-3)(x+1-x+1)}{2};$

$y=x(x-3)$ или $y=x-3;$

Итак, исходную систему можно переписать так:

$\begin{cases}\left[\begin {array}{rcl}y=x(x-3),\\y=x-3;\end{array}\right.\\y=(3+x)a-\frac{9}{4};&\end{cases}$

Заметим, прямая $y=(3+x)a-\frac{9}{4}$ при любом значении $a$ проходит через точку $(-3;-2,25)$.

Несложно найти координаты точек пересечения параболы $y=x(x-3)$ и прямой $y=x-3$:

$B(3;0)$ и $C(1;-2).$

87

Исходная система будет иметь два решения при тех значениях параметра $a$, при которых прямая $y=(3+x)a-\frac{9}{4}$

1) проходит через точку $B$;

2) проходит через точку $C$;

3) проходит через вершину параболы $y=x(x-3)$;

4) параллельна  прямой $y=x-3$;

5) является касательной к левой ветке параболы $y=x(x-3).$

Рассмотрим отдельно каждый случай.

В первом случае $0=(3+3)a-\frac{9}{4},$ то есть $a=\frac{3}{8}.$

Во втором случае $-2=(3+1)a-\frac{9}{4},$ то есть $a=\frac{1}{16}.$

В третьем случае, заметив, что вершина параболы $y=x(x-3)$ – точка $(\frac{3}{2};-\frac{9}{4})$, получаем, что $a=0.$

В четвертом случае, очевидно, $a=1.$

В пятом случае дискриминант уравнения $(3+x)a-\frac{9}{4}=x(x-3)$ должен равняться нулю (при этом $a\neq 0$, так как при $a=0$ происходит касание прямой $y=(3+x)a-\frac{9}{4}$ и вершины параболы  (см. пункт 3)).

$x^2-(3+a)x+\frac{9}{4}-3a=0;$

$D=9+6a+a^2-9+12a;$

$D=0$ <=> $a^2+18a=0;$

Итак, подходит случай $a=-18$.

Ответ: $-18;0;\frac{1}{16};\frac{3}{8};1.$

Печать страницы
комментариев 10
  1. Антон

    У меня вопрос. В пятом случае: причем тут дискриминант? как это работает? то есть складываются (ну вернее вычитаются) два графика и если получившаяся парабола имеет 2 пересечения с ОХ (D>0), то эти два графика по отдельности пересекаются 2 раза , если одно пересечение (D=0), то один раз (то есть наш случай), а если D<0, то ни разу? Я правильно понимаю? Просто в школе этого не объясняют, а понять хочется) Заранее спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Антон, прямая [latexpage]$y=kx+b$ и парабола $y=ax^2+bx+c$ могут
      а) пресекаться в двух точках;
      б) не иметь общих точек;
      в) иметь одну общую точку (касаться).
      В случае (а) система
      $\begin{cases}
      y=kx+b,&
      &y=ax^2+bx+c;&
      \end{cases}$ имеет два решения, то есть уравнение $ax^2+bx+c=kx+b$ имеет два решения (D>0).
      В случае (б) указанная система не имеет решений, то есть D<0
      для $ax^2+bx+c=kx+b$.
      В случае (в) указанная система имеет одно решение, то есть D=0 для $ax^2+bx+c=kx+b$.

      [ Ответить ]
  2. Нелли

    Почему при преобразовании первого уравнения при выносе квадрата из под корня нет |x-3||x+1|.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Просто за счет «+/–» модуль «уходит». Вот и все. Распишите подробно – увидите.

      [ Ответить ]
      • Наталия

        Если при извлечении корня оставить модуль |x-3||x-1|, то функция y=x(x-3) получается не для всех х, а только при x3. То же самое и для второго случая. Разве нет?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Нет. Модуль не ограничивает саму переменную (подмодульную)

          [ Ответить ]
          • Наталия

            Все-таки я не понимаю. Модуль равен подмодульному выражению, если х больше 3 или х меньше 1, тогда и получается функция y=x(x-3). На интервале от 1 до 3 модуль раскрывается со знаком минус, тогда получаем прямую y=x-3.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Все верно. Но за счет того, что перед модулем стоит «+/-» модуль «теряется».
            Именно поэтому в решении его не видно…

            [ Ответить ]
  3. Елена

    Здравствуйте.
    Как получилась четвертая строчка при рассмотрении системы как квадратное уравнение относительно x? Никак не соображу, как так можно было выразить y

    [ Ответить ]
    • egeMax

      По формуле нахождения корней через дискриминант))

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




12 − 6 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif