28 Май 2015

Категория: 18 (С6) Параметры*ПараметрТ/P A. Ларина

Задание №20 Т/Р №119 А. Ларина

Елена Репина 2015-05-28 2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$\begin{cases} (y-2a+2)^2+(x-a)^2}=a^2-5a+4,& &y\geq |x|;& \end{cases}$

имеет единственное решение.

Решение:

Заметим, центр окружности

$(x-a)^2+(y-(2a-2))^2}=a^2-5a+4$

лежит на прямой $y=2x-2.$

Заметим также, что при $a=1$ и $a=4$ окружность вырождается в точку (радиус равен нулю). В первом случае – в $(1;0)$ , во втором – в $(4;6).$

Случай 1 (прохождение окружности (с не положительной абсциссой центра, то есть $a\leq 0$ ) через начало координат).

Имеем:

$(0-2a+2)^2+(0-a)^2}=a^2-5a+4;$

$4a^2-8a+4+a^2=a^2-5a+4;$

$4a^2-3a=0;$

Подходит $a=0$ .

Случай 2 (касание окружности и луча $y=x,x\geq 0$ , при этом центр окружности – вне зоны $y\geq |x|$ ).

Потребуем $D=0$ для $(x-2a+2)^2+(x-a)^2}=a^2-5a+4.$

Имеем:

$x^2+4a^2+4-4ax-8a+4x+x^2+a^2-2ax=a^2-5a+4;$

$2x^2+2(2-3a)x+4a^2-3a=0;$

$\frac{D}{4}=4-12a+9a^2-8a^2+6a=a^2-6a+4;$

$D=0$ <=> $a=3\pm \sqrt5.$

Подходит $a=3-\sqrt5$

Случай 3 (окружность, вырожденная в точку, попадает в зону $y\geq |x|$ ).

$a=4.$

Ответ: $0;4;3-\sqrt5.$

Автор: egeMax | комментариев 19

Печать страницы

комментариев 19

Олег

2015-05-29 в 17:45

Спасибо Вам за ваш труд! Ваши решения здоровские)

[ Ответить ]
Марат

2015-05-29 в 18:35

Добрый вечер, а как Вы поняли, что ценnh окружности лежит на прямой y=2x-2?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-29 в 18:37
  
  Координаты центра – (a;2a-2), верно?
  Где лежат все такие точки?
  
  [ Ответить ]
  - Марат
    
    2015-05-29 в 18:44
    
    Координаты центра да, согласен, верно, но как до этого додуматься?
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2015-05-29 в 20:40
      
      Как прямая y=kx+b состоит из точек вида (x;kx+b), так и прямая y=2x-2 состоит из точек вида (x;2x-2) (или (a;2a-2)).
      
      [ Ответить ]
Марат

2015-05-29 в 18:47

Это нужно как – то связать с уравнением прямой у=к(х-х0)+у0?

[ Ответить ]
Никита

2015-05-29 в 20:52

Здравствуйте. Почему в 1 случае коэффициент при a^2 получился 3, а не 4? И почему другой а не подходит(отличный от 0)?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-29 в 21:00
  
  В случае a=3/4 окружность будет иметь более одной общей точки с зоной y>=|x|.
  
  [ Ответить ]
  - Никита
    
    2015-05-29 в 21:06
    
    Да,точно,спасибо, то есть для обоих случаев(1 и 2) нужно брать меньшее а,т.к при больших а центры окружностей будут лежать выше относительно прямой у=2х-2, а значит пересекать закрашенную область
    
    [ Ответить ]
Татьяна

2015-05-30 в 16:15

Здравствуйте! Можно спросить у вас о 2-ом соучае?
После решений выходит два значения Параметра А. Почему не подходит 3 + корень из 5? А 3 – корень из 5 подходит?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-30 в 18:49
  
  Татьяна, при $a=3+\sqrt5$ происходит касание окружности и луча $y=x, x\geq 0$ , но при этом окружность лежит в зоне $y\geq |x|$ , то есть мы имеем бесконечно много решений. Достаточно увидеть, что центр окружности – в зоне $y\geq |x|$ .
  
  [ Ответить ]
  - Татьяна
    
    2015-05-31 в 13:25
    
    Спасибо большое! Ваш сайт очень мне помогает!
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2015-05-31 в 14:29
      
      ;)
      
      [ Ответить ]
Мария

2015-06-16 в 12:42

Здравствуйте. Я не могу понять 3 случай про окружность, не могли бы вы мне объяснить?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-06-16 в 15:17
  
  Мария, в случае, когда в уравнении окружности $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
  $r=0$ , окружность превращается в точку. В нашем случае радиус нулевой при $a=4$ и при $a=1$ . При $a=4$ точка (вырожденная в окружность) попадает в требуемую зону, при $a=1$ – нет.
  Понятно ли так? Спрашивайте еще, если что.
  
  [ Ответить ]
  - Мария
    
    2015-06-16 в 16:19
    
    спасибо. всё поняла, мы в школе не разбираем параметры, пока плохо в этом разбираюсь
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2015-06-16 в 16:48
      
      Мария, успехов! Время еще есть…
      
      [ Ответить ]
Руслан

2017-01-30 в 20:42

Здравствуйте. При а=3-корень из 5 центр окружности должен находиться ниже оси абсцисс, а у вас на рисунке он почему-то выше. Или я что-то не понял…

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2017-01-30 в 20:44
  
  3 минус корень из 5 – какая величина по знаку?
  
  [ Ответить ]

Задание №20 Т/Р №119 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ