Задание №20 Т/Р №119 А. Ларина

2023-06-15


Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$\begin{cases}(y-2a+2)^2+(x-a)^2=a^2-5a+4,\\y\geq |x|;&\end{cases}$

имеет единственное решение.

Решение:

Заметим, центр окружности

$(x-a)^2+(y-(2a-2))^2=a^2-5a+4$

лежит на прямой $y=2x-2.$

Заметим также, что при $a=1$ и $a=4$ окружность вырождается в точку (радиус равен нулю). В первом случае  – в $(1;0)$, во втором – в $(4;6).$

гр

Случай 1 (прохождение окружности (с не положительной абсциссой центра, то есть $a\leq 0$) через начало координат).

Имеем:

$(0-2a+2)^2+(0-a)^2=a^2-5a+4;$

$4a^2-8a+4+a^2=a^2-5a+4;$

$4a^2-3a=0;$

Подходит $a=0$.

Случай 2 (касание окружности и луча $y=x,x\geq 0$, при этом центр окружности – вне зоны $y\geq |x|$).

Потребуем

$D=0$ для $(x-2a+2)^2+(x-a)^2=a^2-5a+4.$

Имеем:

$x^2+4a^2+4-4ax-8a+4x+x^2+a^2-2ax=a^2-5a+4;$

$2x^2+2(2-3a)x+4a^2-3a=0;$

$\frac{D}{4}=4-12a+9a^2-8a^2+6a=a^2-6a+4;$

$D=0$ <=> $a=3\pm \sqrt5.$

Подходит $a=3-\sqrt5$

 Случай 3 (окружность, вырожденная в точку, попадает в зону $y\geq |x|$).

$a=4.$

Ответ: $0;4;3-\sqrt5.$

Печать страницы
комментариев 19
  1. Олег

    Спасибо Вам за ваш труд! Ваши решения здоровские)

    [ Ответить ]
  2. Марат

    Добрый вечер, а как Вы поняли, что ценnh окружности лежит на прямой y=2x-2?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Координаты центра – (a;2a-2), верно?
      Где лежат все такие точки?

      [ Ответить ]
      • Марат

        Координаты центра да, согласен, верно, но как до этого додуматься?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Как прямая y=kx+b состоит из точек вида (x;kx+b), так и прямая y=2x-2 состоит из точек вида (x;2x-2) (или (a;2a-2)).

          [ Ответить ]
  3. Марат

    Это нужно как – то связать с уравнением прямой у=к(х-х0)+у0?

    [ Ответить ]
  4. Никита

    Здравствуйте. Почему в 1 случае коэффициент при a^2 получился 3, а не 4? И почему другой а не подходит(отличный от 0)?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      В случае a=3/4 окружность будет иметь более одной общей точки с зоной y>=|x|.

      [ Ответить ]
      • Никита

        Да,точно,спасибо, то есть для обоих случаев(1 и 2) нужно брать меньшее а,т.к при больших а центры окружностей будут лежать выше относительно прямой у=2х-2, а значит пересекать закрашенную область

        [ Ответить ]
  5. Татьяна

    Здравствуйте! Можно спросить у вас о 2-ом соучае?
    После решений выходит два значения Параметра А. Почему не подходит 3 + корень из 5? А 3 – корень из 5 подходит?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Татьяна, при [latexpage]$a=3+\sqrt5$ происходит касание окружности и луча $y=x, x\geq 0$, но при этом окружность лежит в зоне $y\geq |x|$, то есть мы имеем бесконечно много решений. Достаточно увидеть, что центр окружности – в зоне $y\geq |x|$.

      [ Ответить ]
      • Татьяна

        Спасибо большое! Ваш сайт очень мне помогает!

        [ Ответить ]
        • egeMax

          ;)

          [ Ответить ]
  6. Мария

    Здравствуйте. Я не могу понять 3 случай про окружность, не могли бы вы мне объяснить?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мария, в случае, когда [latexpage]в уравнении окружности $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
      $r=0$, окружность превращается в точку. В нашем случае радиус нулевой при $a=4$ и при $a=1$. При $a=4$ точка (вырожденная в окружность) попадает в требуемую зону, при $a=1$ – нет.
      Понятно ли так? Спрашивайте еще, если что.

      [ Ответить ]
      • Мария

        спасибо. всё поняла, мы в школе не разбираем параметры, пока плохо в этом разбираюсь

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Мария, успехов! Время еще есть…

          [ Ответить ]
  7. Руслан

    Здравствуйте. При а=3-корень из 5 центр окружности должен находиться ниже оси абсцисс, а у вас на рисунке он почему-то выше. Или я что-то не понял…

    [ Ответить ]
    • egeMax

      3 минус корень из 5 – какая величина по знаку?

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




2 × 1 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif