Задание №20 Т/Р №119 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

$\begin{cases}(y-2a+2)^2+(x-a)^2=a^2-5a+4,\\y\geq |x|;&\end{cases}$

имеет единственное решение.

Решение:

Заметим, центр окружности

$(x-a)^2+(y-(2a-2))^2=a^2-5a+4$

лежит на прямой $y=2x-2.$

Заметим также, что при $a=1$ и $a=4$ окружность вырождается в точку (радиус равен нулю). В первом случае  – в $(1;0)$, во втором – в $(4;6).$

Случай 1 (прохождение окружности (с не положительной абсциссой центра, то есть $a\leq 0$) через начало координат).

Имеем:

$(0-2a+2)^2+(0-a)^2=a^2-5a+4;$

$4a^2-8a+4+a^2=a^2-5a+4;$

$4a^2-3a=0;$

Подходит $a=0$.

Случай 2 (касание окружности и луча $y=x,x\geq 0$, при этом центр окружности – вне зоны $y\geq |x|$).

Потребуем

$D=0$ для $(x-2a+2)^2+(x-a)^2=a^2-5a+4.$

Имеем:

$x^2+4a^2+4-4ax-8a+4x+x^2+a^2-2ax=a^2-5a+4;$

$2x^2+2(2-3a)x+4a^2-3a=0;$

$\frac{D}{4}=4-12a+9a^2-8a^2+6a=a^2-6a+4;$

$D=0$ <=> $a=3\pm \sqrt5.$

Подходит $a=3-\sqrt5$

 Случай 3 (окружность, вырожденная в точку, попадает в зону $y\geq |x|$).

$a=4.$

Ответ: $0;4;3-\sqrt5.$