Задание №20 Т/Р №119 А. Ларина

2015-09-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

\begin{cases} (y-2a+2)^2+(x-a)^2}=a^2-5a+4,& &y\geq |x|;& \end{cases}

имеет единственное решение.

Решение:

Заметим, центр окружности

(x-a)^2+(y-(2a-2))^2}=a^2-5a+4

лежит на прямой y=2x-2.

Заметим также, что при a=1 и a=4 окружность вырождается в точку (радиус равен нулю). В первом случае  – в (1;0), во втором – в (4;6).

Случай 1 (прохождение окружности (с не положительной абсциссой центра, то есть a\leq 0) через начало координат).

Имеем:

(0-2a+2)^2+(0-a)^2}=a^2-5a+4;

4a^2-8a+4+a^2=a^2-5a+4;

4a^2-3a=0;

Подходит a=0.

Случай 2 (касание окружности и луча y=x,x\geq 0, при этом центр окружности – вне зоны y\geq |x|).

Потребуем D=0 для (x-2a+2)^2+(x-a)^2}=a^2-5a+4.

Имеем:

x^2+4a^2+4-4ax-8a+4x+x^2+a^2-2ax=a^2-5a+4;

2x^2+2(2-3a)x+4a^2-3a=0;

\frac{D}{4}=4-12a+9a^2-8a^2+6a=a^2-6a+4;

D=0 <=> a=3\pm \sqrt5.

Подходит a=3-\sqrt5

 Случай 3 (окружность, вырожденная в точку, попадает в зону y\geq |x|).

a=4.

Ответ: 0;4;3-\sqrt5.

Печать страницы
Комментариев: 17
  1. Олег

    Спасибо Вам за ваш труд! Ваши решения здоровские)

    [ Ответить ]
  2. Марат

    Добрый вечер, а как Вы поняли, что ценnh окружности лежит на прямой y=2x-2?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Координаты центра – (a;2a-2), верно?
      Где лежат все такие точки?

      [ Ответить ]
      • Марат

        Координаты центра да, согласен, верно, но как до этого додуматься?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Как прямая y=kx+b состоит из точек вида (x;kx+b), так и прямая y=2x-2 состоит из точек вида (x;2x-2) (или (a;2a-2)).

          [ Ответить ]
  3. Марат

    Это нужно как – то связать с уравнением прямой у=к(х-х0)+у0?

    [ Ответить ]
  4. Никита

    Здравствуйте. Почему в 1 случае коэффициент при a^2 получился 3, а не 4? И почему другой а не подходит(отличный от 0)?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      В случае a=3/4 окружность будет иметь более одной общей точки с зоной y>=|x|.

      [ Ответить ]
      • Никита

        Да,точно,спасибо, то есть для обоих случаев(1 и 2) нужно брать меньшее а,т.к при больших а центры окружностей будут лежать выше относительно прямой у=2х-2, а значит пересекать закрашенную область

        [ Ответить ]
  5. Татьяна

    Здравствуйте! Можно спросить у вас о 2-ом соучае?
    После решений выходит два значения Параметра А. Почему не подходит 3 + корень из 5? А 3 – корень из 5 подходит?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Татьяна, при a=3+\sqrt5 происходит касание окружности и луча y=x, x\geq 0, но при этом окружность лежит в зоне y\geq |x|, то есть мы имеем бесконечно много решений. Достаточно увидеть, что центр окружности – в зоне y\geq |x|.

      [ Ответить ]
      • Татьяна

        Спасибо большое! Ваш сайт очень мне помогает!

        [ Ответить ]
        • egeMax

          ;)

          [ Ответить ]
  6. Мария

    Здравствуйте. Я не могу понять 3 случай про окружность, не могли бы вы мне объяснить?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мария, в случае, когда в уравнении окружности (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
      r=0, окружность превращается в точку. В нашем случае радиус нулевой при a=4 и при a=1. При a=4 точка (вырожденная в окружность) попадает в требуемую зону, при a=1 – нет.
      Понятно ли так? Спрашивайте еще, если что.

      [ Ответить ]
      • Мария

        спасибо. всё поняла, мы в школе не разбираем параметры, пока плохо в этом разбираюсь

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Мария, успехов! Время еще есть…

          [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif